第一型曲线积分
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第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
教学目的:
掌握第一型曲线积分的定义,性质和计算公式 教学重点:
第一型曲线积分的计算. 教学难点:
第一型曲线积分的计算公式. 教学过程
一、引言 金属曲线的质量问题
设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?
用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).
a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,
,n A A A -,这样曲线C
就分成了一些小弧段.把1i i A A -(0,n A A A B ==)的弧长记为
,1,2,
,i S i n
∆=,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,
当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi 近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:
b) 作和: m=∑=m
i m 1
i ∑=≈m
i i i p 1
),(ηξSi ∆
c) 取极限:令s=max Si ∆,则
m=lim ∑=n
i i i p 1),(ηξSi ∆
上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.
抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 (一)、第一类曲线积分的定义
定义 设L 为平面上可求长度的曲线段,()y x f ,为定义在L 上的函数.对曲
线L 作分割T ,它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L (n i ,,2,1 =),i L 的弧
长记为i s ∆,分割T 的细度为i
n i s T ∆=≤≤1m a x ,在i L 上任取一点()i i ηξ,(n i ,,2,1 =).若有极限
()∑=→∆n
i i
i
i
T s
f 1
,lim
ηξ=J ,
且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分,记作
()ds
y x f L
⎰,.
(二)、第一型曲线积分的性质
(1)若()ds
y x f L
i
⎰,(n i ,,2,1 =)都存在,i c (n i ,,2,1 =),为常数,则
()ds y x f c L n i i
i ⎰∑=1
,=
()ds
y x f c n
i L
i
i ∑⎰=1
,.
(2)若曲线段L 由曲线21,L L …n L ,首尾相接而成,()ds
y x f i
L ⎰,都存在,则
()ds
y x f L
⎰,也存在,且()ds y x f L
⎰,=
()ds
y x f n
i L i
∑⎰=1,.
(3)若()ds y x f L
⎰,,()ds
y x g L
⎰,都存在,且在L 上()()y x g y x f ,,≤,则
()ds y x f L
⎰,≤()ds
y x g L
⎰,.
(4)若()ds
y x f L ⎰,存在,则()ds
y x f L
⎰,也存在,且()ds y x f L
⎰,≤()ds
y x f L
⎰,.
(5)若()ds
y x f L
⎰,存在,L 的弧长为s ,则存在常数c ,使得
()ds
y x f L
⎰,=c s ,
这里
()()
y x f c y x f L
L
,max ,inf ≤≤.
三、第一类曲线积分的计算
定理20.1设有光滑曲线L :()()[]βαψϕ,,,
∈⎩⎨
⎧==t t y t x , ()y x f ,为定义在上的连续函数,则
()ds
y x f L
⎰
,=
()()()()()⎰'+'β
α
ψϕψϕdt
t t t t f 22, . (3)
证明 由弧长公式知道,L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,
=
∆i s ()()⎰
-'+'i
i t t dt
t t 1
22ψϕ,
由()()t t 2
2ψϕ'+'的连续性与积分中值定理,有
=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ2
2()i i i t t <'<-τ1,
所以
()∑=∆n i i
i
i
s f 1
,ηξ=()()()
()()i
n
i i i i
t f ∆''+''''''∑=1
22,τψτϕτψτϕ,
这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1.设
=
σ()()()()()()()i
i i n
i i i i
t f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ,
则有
()∑=∆n i i
i
i
s f 1
,ηξ=()()()
()()i
n
i i i i
t f ∆'''+'''''''∑=1
22,τψτϕτψτϕ+σ, (4)
令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆ ,则当0→T 时,必有0→∆t .现在证明0
lim 0=→∆σt .
因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续,所以在闭区间[]βα,上有界,即存在常数
M ,使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,,
()()()()ε
τψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222,
再由
()()t t 2
2ψϕ'+'在[]βα,上连续,所以它在[]βα,上一致连续,即对任给的0>ε,必存在0>δ,使当δ<∆t 时有
()()()()ε
τψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222,
从而
()
∑=-=∆≤n
i i a b M t M 1εεσ, 所以0
lim 0=→∆σt .
再由定积分定义