中考数学专题复习几何压轴题

几何压轴题

1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ；

(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图②

答案：1；……………………………………………………………………………………………1分

（2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴

AC

DC

BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC

C

D BC C

E '=

'． ∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '∆∽D AC '∆.∴

4

5

==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE =

2

1

BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，

∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO

∴此时E CB '∠=30°，E C '=2

1

BC =2 =CE ．

∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．∴CO =E C '=2． 又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3．

（如图2）

A

C

B

（如图3）

C

B

（如图1)

（如图3）

C

B

∴332

1

=•=∆BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分

2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

(1)若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且0

90=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ∆是

三角形．

(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则MBN ∆是 三角形，且

=∠MBN .

(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

答案：（1）等腰直角 ………1分

（2）等腰 ………2分 α ………3分 （3）结论仍然成立 ………4分

证明： 在ABF EBC ∆∆和中，BA BE ABF EBC BF BC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分 ∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分

∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =α.……7分

3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起(C 与C '重合)．

(1)固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30︒得到△CDE ，连结AD BE 、(如图2)．此时线段BE 与

AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

(2)设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度

平移，平移后的△CDE 设为△QRP (如图3)．设△QRP 移动(点P Q 、在线段CF 上)的时间为x 秒，若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；

图1 图2 图3 图4

(3)若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=︒<<︒，边BC 交D E ''于点M ，边AC 交D C ''于点N (如图4)．此时线段C N E M ''的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M ''的值；如果有变化，请你说明理由．

答案：（1）BE AD =. ………………………………………………………………1分

证明：如图2，∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，△C D E '''绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ， ∴△CDE 也是等边三角形，且230∠=︒，

∴60ACB DCE ∠=∠=︒, ,CA CB CE CD ==. …………………………………2分

∴130∠=︒,∴330∠=︒,∴23∠=∠.∴△BCE ≌△ACD ， ∴ BE AD =. ……………………………………3分 （2）如图3，设PR RQ 、分别与AC 交于点O L 、.

∵△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移x 秒， 平移后的△CDE 为△PQR ，CQ x ∴=.

由（1）可知60,30PQR PRQ BCA BCF ∠=∠=∠=︒∠=︒，30ACF ∴∠=︒，

30CLQ RLO ∴∠=∠=︒.,90LQ CQ x ROL ∴==∠=︒.

3QR =,3RL x ∴=-.在Rt ROL △中，11

(3)22

OR RL x =

=-

，cos30(3)2OL RL x =︒=-. 213

(3)2ROL S RO OL x ∆∴=

=-.…………………………………………………………4分 过点R 作RK

PQ ⊥于点K .

在Rt RKQ △中， sin 60RK RQ =︒=，

3

21 图2

(C ')

C D

A B

E