《初等数论》本科
一、填空题（每空2分）
1.写出30以内的所有素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29.
2.,(
,)(,)(,)
a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1. 3.若,a b 是非零整数，则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ，使1ax by +=
4.写出180的标准分解式是(2+1)(2+1)(1+1)=18个.
5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被.
6.设,a b 是非零整数，c 是整数，方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是(,)|a b c
7.若整数集合A 是模m 的完全剩余系，则A 中含有m 个整数.
8.ϕ(4)=9.当p 素数时，(1)()p ϕ=1p -;(2)()k p ϕ=1k k p p --.
10.(),(,)1,1m m a m a ϕ=-≡设是正整数则).m
11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有).p
12.已知235(mod7)x +≡，则x .
13.同余方程22(mod 7)x ≡14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是X=6+9t(t ∈Z ). 15.(,)1n p =若，n p 是模的二次剩余的充要条件是-12
1(mod ).p n
p ≡.
16.(,)1n p =若，n p 是模的二次非剩余的充要条件是-12
1(mod ).p n
p ≡-.
17.3(54
(518.,p 设是奇素数则2()p
=
218(1).p --.
19.,p 设是奇素数则1()p -1
()p
=
20.5()=92
()=45
二、判断题。(判断下列结论是否成立，每题2分). 1.||,|a b a c x y Z a bx cy ⇒∈+且对任意的有.成立
2.(,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
3.2
3
|,|a b a b 若则.不成立a=8b=12
4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈⇒≡成立
5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇒≡不成立
6.22
(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立.不成立 7.222
(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成立
8.若x 通过模m 的完全剩余系，则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系.成立
9.若｛1a ，2a ，……，m a ｝与｛1b ，2b ……m b ｝都是模m 的完全剩余系，则｛1a +1b ，2a +2b ，……，m a +m b ｝也是模m 的完全剩余系。不成立
10.若(,)1a m =，x 通过模m 的简化剩余系（完全剩余系），则ax b +也通过模m 的简化剩余系.不成立 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ϕϕϕ∈==若则成立
12.同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2
412120(mod15)x x +-≡是同解的.成立
13.(mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程成立
14.2,(mod ),() 1.a
m x a m m
≡=当是奇素数时若有解则成立
15.2
,()1,(mod ).a m x a m m
=≡当不是奇素数时若则方程一定有解不成立
三计算题
1.(1859,1573)-求
解：
1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)
(286,15732865)(286,143)(0,143)143
-===-⨯===
2.求[－36，108，204]
解：22232232.[36,108,204][36,108,204],
3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.
-==⨯=⨯=⨯⨯∴=⨯⨯=Q
3.求(125，17)，以及x ，y ，使得125x +17y =(125，17)
解：
3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-17
3125-2217.
1253-17221,3,-22.
x y =+==⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯∴⨯⨯===由等式起逐步回代得
解：
4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)3220971
32(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162
731387625162.1=⨯+=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯-=⨯-⨯=⨯-⨯-⨯=⨯-⨯∴由等式起逐步回代得
38773162625 1.
⨯-⨯=
5.12!.分解为质因数乘积（8分）
6.,10|199!k k 求最大的正整数使.（8分）
7.[1+L 求(10分) 8.81743.x y +=求方程的整数解(6分)
9.19201909.x y +=求方程的正整数解(10分)
10.求方程111x －321y =75的整数解.(10分) 11.12310661.x x x ++=求方程15的整数解(8分) 12.361215.x y z ++=求不定方程的整数解(8分)
13.237.x y z ++=求不定方程的所有正整数解(8分)
14.19
,2,3 5.30
将
写成三个分数之和它们的分母分别是和(10分) 15.222370.x y x y +--=求方程的整数解(6分) 16.331072.x y +=求方程的整数解(8分)
17.5()4.xy yz zx xyz ++=求方程的正整数解(10分)
18.406
3().求的个位数字与最后两位数字十进制(10分) 19.67(mod 23).x ≡解同余方程(8分) 20.12150(mod 45).x +≡解同余方程(8分)
21.2(mod 3)3(mod 5).2(mod 7)x x x ≡⎧⎪
≡⎨⎪≡⎩
解同余式组(6分)
