中国农业大学
2014~2015学年秋季学期 线性代数（B ）课程期中考试试题
一、填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）
1．设B A ,都是5阶矩阵,且2,31
=-=-B A
,则B A = .
2．A 是34⨯矩阵，其秩()1R A =，⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--=003000010853
2001B ，则()R BA = .
3．设A 是n 阶矩阵，E 为单位矩阵，
E AA T =，1-=A ,则()
=*
T
A .
4.已知矩阵(0,1,0,1).T
α=若矩阵T E b αα+是矩阵2T
E αα+的逆矩阵（其中
b 是数），则b = ．
5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=54
321η，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解为 .
二、选择填空题（本题满分１５分，共有５道小题，每道小题３分）．以下每道题有四个答案，
其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中． 1． 设A 为n 阶方阵，且A A =2
.则以下结论正确的是（ ）. (A)A =0或者A E =； (B)A 不可逆； (C)A 能写成一些初等矩阵的乘积； (D)
A =0或者A E 0-=．
2．设n 阶矩阵A 与B 等价,则下列结论不正确的是（ ）.
(A) ()()R A R B = ； (B)；当0=A 时,0=B
考生诚信承诺
1.本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
学院： 班级： 学号： 姓名：
(C) A B =； (D)A 与B 有相同的标准形． 3. n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤L 线性无关的充分必要条件是( )
3.n 维向量12,,,(3)s s n ααα≤≤L 线性无关的充分必要条件是( ) (A ) 存在不全为零的数12,,,s k k k L ，使11220s s k k k ααα++≠． （B ）12,,,s αααL 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示． （C ） 12,,,s αααL 中任意两个向量线性无关．
（D ）
12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示．
4. 已知C B A ,,均为n 阶可逆矩阵,且E ABC =, 则下列结论一定成立的是（ ）． （A ）E ACB =；（B ）E BCA = ；（C ）E CBA =； （D ）E BAC =．
5. 设A 为m n ⨯矩阵，且m n <，若A 的行向量组线性无关，则( ) (A) 方程组=Ax b 有无穷多解；(B) 方程组=Ax b 仅有零解； (C) 方程组=Ax b 无解；(D) 方程组=Ax 0仅有零解．
三、（14分）计算行列式
(1)4
5555555344444442
3333333122222222
33
44
5233445
23344523344
5⨯---⨯---⨯---⨯---
(2)计算n 阶行列式
n
n a a a a a a D n n 1
3
21
1122
11
----=
--O O
四、（6分）已知)(33E A A A -=，证明：A E -可逆，并求1
)(--A E ．
学院： 班级： 学号： 姓名：
五、（10分）已知矩阵X 满足193AX A X A X E *-+=+，其中E 为单位矩阵，,200120012⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=A 求
X.
六、(10分) 设r r αααβααβαβ+++=+==ΛΛ2121211,,,,且向量组r ααα,,,21Λ线性无关,证明向量组r βββ,,,21Λ线性无关.
七、（12分）当k为何值时，线性方程组
123
2
123
123
4
24
x x kx
x kx x k
x x x
++=
⎧
⎪
-++=
⎨
⎪-+=-
⎩
有唯一解，并求出该解．
学院： 班级： 学号： 姓名： 八、(10分)求向量组()12011=α，()10212=α，()03123=α，
()41524-=α，()13115--=α的秩和最大无关组，并把其余向量用该最大无
关组线性表示：
九 (8分）设n 阶方阵A 满足：()R A r =．证明：A 可以表示成r 个秩为1的矩阵之和．
