4-8 一个半径为r ＝1m ，转速为1500r/min 的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t ＝50s 后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t ＝25s 时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。
解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为
2015000.5/6050r
r s s s
β-=
=-⨯
由角速度和角加速度的关系得
25/0
t
r s
d dt ω
ωβ=⎰
⎰
得 250.5(/)t r s ω=-
（2） d d d d dt dt d d ωωθωω
βθθ
=
==
25/r s
d d θβθωω=⎰⎰
解得 625r θ=
所以转数为625
（3）由于250.5(/)t r s ω=-
所以t=25s 时 12.5/25(/)r s rad s ωπ== 所以线速率为 25(/)v r m s ωπ==
角加速度大小不变
4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e -t/τ），式中，ω0＝9.0rad/s ，τ＝2.0s ，求：（1）t ＝6.0s 时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s 后转过的圈数。 解 （1）t=60s 代入得
39(1)(/)8.6/e rad s rad s ω-=-=
（2）由d dt
ωβ=
得 2
4.5t e β-
=
（3）由6
d dt θθω=⎰⎰
33618e θ-=+ [/2][5.87]5n θπ===
4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t ）＝γt+βt 3，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。
解 由d dt
θ
ω=
得 23t ωγβ=+
由于初始时刻转速为零，γ=0
23t ωβ=
4-11 求半径为R ，高为h ，质量为m 的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。
解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为
2
222
m m
dJ dV d d dz R h R h
ρρρρθππ== 积分求得
23220001
2
R h m J d d dz mR R h πρρθπ=
=⎰⎰⎰ 4-12一个半径为R ，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。
解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS ，到转轴的距离为r ，则其转动惯量为
22dJ r dS r rdrd ρρθ==
积分得绕轴转动惯量为
23410
12
R
J r drd R π
ρθπρ==⎰
⎰
圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得
4
422213()()()222232
R R R R J πρπρρπ=+=
总的转动惯量为
4
121332
R J J J πρ=-=
4-13电风扇在开启电源后，经过t 1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t 2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J ，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。 解：由转动定理得
1
e f M M J J t ω
β-==
20f M J J
t ω
β--== 解得，电磁力矩为
1
2
(
)e M J t t ωω
=+
4-14质量为m A 的物体A 静止在光滑水平面上，它和一质量不计的绳子相连接，此绳跨过一半径为R ，质量为m 的圆柱形滑轮C ，并系在另一个质量为m B 的物体上，B 竖直悬挂，圆柱形滑轮可绕其几何中心转动。当滑轮转动时，它与绳子间没有相对滑动，且滑轮和轴承间的摩擦了可忽略，求（1）这两个物体的加速度为多少？水平和竖直两段绳子的张力各为多少？（2）物体B 从静止下落距离为y 时，其速率为多少？ 解：设水平方向物体受到的拉力大小为F A ,竖直方向 物体受到的拉力为F B 。 两个物体的加速度大小相等
对物体A 受力分析，在水平方向由牛顿第二定律得
A A F m a =
对物体B 受力分析，由牛顿第二定律得
B B B m g F m a -=
对圆柱滑轮，其绕轴转动惯量为
21
2
J mR =
有转动定律得
B A F R F R J β-=
由于绳子和滑轮没有相对滑到，所以有
a R β=
联立以上各式求得两物体的线加速度
1
2
B A B m g a m m m
=
++
水平绳子的张力
1
2
A B A A B m m g F m m m
=
++
竖直绳子的张力
1
()21
2
A B B A B m m m g
F m m m
+=
++ 由于物体B 静止下落，所以其下落距离和速率的关系为
v 4-15 一半径为R ，质量为m 的均质圆盘，一角速度ω绕其中心轴转动，现将其放在水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ求（1）圆盘所受到的摩擦力矩。（2）经过多少时间后，圆盘才能停止转动 解：（1）在圆盘上取一面元dS ，距中心轴距离为r ，其受到的摩擦力大小为
2
m
df gdS R μ
π= 圆盘绕其中心轴转动，所以此体元做半径为r 的圆周运动，由于摩擦力的方向与运动方向相反，摩擦力的力臂长为r ，所以此体元受到的摩擦力矩为
dM rdf =
所以圆盘受到的摩擦力矩为
22200
2
3
R S
m m M r gdS r grdr d mg R R R πμ
μθμππ===⎰⎰⎰⎰ （2）停止转动时，圆盘的角速度为零，由于力矩不变，所以角加速度恒定，有
0M
t t J
ωβω=-=-
其中圆盘绕中心轴的转动惯量为
