存在性与最值问题专题练习卷
1．如图，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B (3，0)，C (0，－2)，直线l ：y ＝－23x －23
交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点(不与A ，D 重合)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN ∥y 轴交l 于点N ，求PM ＋PN 的最大值．
(3)设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．
备用图
2.如图，分别以菱形ABCD 的对角线BD ，AC 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y ＝ax 2－6ax －16a (a >0)
过C ，D 两点，与x 轴的负半轴交于点E ，且∠ECD ＝90°.点P 是x 轴上一动点，设点P 的坐标为(m ，0)，过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线于点Q .
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P 在线段OD 上运动时，直线l 交AD 于点M .试探究：当m 为何值时，四边形CQDM 的面积取得最大值，并求出这个最大值；
(3)在(2)的情况下，点P 停止运动，连接PC .若动点R 从点O 出发沿OP 匀速运动，速度为每秒1个单位长度；动点S 从点O 出发沿折线O —C —P 匀速运动，速度为每秒4个单位长度，当点R 运动到点P 时，停止运动，设运动时间为t 秒．是否存在时间t ，使RS ∥AC ，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，∆ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过A ，B 两点，其中点A ，C 的坐标分别为(1，0)，(－4，0)，抛物线的顶点为D .
(1)求抛物线的解析式；
(2)E 是直角三角形ABC 斜边AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，当线段FE 的长度最大时，求点E 的坐标；
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P ，使∆PEF 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A (－1，0)，C (0，5)两点，与x 轴另一个交点为B .已知M (0，1)，E (a ，0)，F (a ＋1，0)，P 是第一象限内的抛物线上的动点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；
(3)若∆PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 的周长最小？请说明理由．
(备用图)
5.综合与探究：如图，抛物线y ＝12x 2－2x －52
与x 轴相交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，与y 轴相交于点C . (1)求点A ，B ，C 的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；
(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，抛物线的顶点M 关于x 轴的对称点是M ′.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线AM ′与此抛物线的另一个交点为C ，求∆CAB 的面积；
(3)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
7.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为(2，23)，AB＝43，∠B＝60°，D是线段OC上一点，且OD＝4，连接AD.
(1)求证：∆AOD是等边三角形；
(2)求点B的坐标；
(3)平行于AD的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形OABC所截得的线段长为m，直线l与x轴交点的横坐标为t.
①当直线l与x轴的交点在线段CD上(交点不与点C，D重合)时，请直接写出m与t的函数关系式；(不必写出自变量t的取值范围)
②若m＝2，请直接写出此时直线l与x轴的交点坐标．
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A(0，6)，与x轴交于点B(6，0)，P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB＝75°？求出此时点P的坐标；
(3)点P从点A出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动．在移动过程中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动．与此同时，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？
