第一章
1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=
ij σMPa ，试求该应力空间中
122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？
解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：
2
2
2
C
B A A ++=
l ，2
2
2
C
B A B ++=
m ，2
2
2
C
B A
C n ++=
因此：312)(-2112
22=
++=
l ，322)(-212-222-=++=m ；3
22)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τ
xy m ＋τ
xz n=3100
325031200=
⨯-⨯
S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350
321503150=⨯+⨯
S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=3
200
32100-=⨯-
1119
1000
32
3200323350313100S S S -=-
=⨯-⨯-⨯=
++=n m l z y x σ
125003200335031002
2222
22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=z y x S S S S
4.1391000125002
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=τ
1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=1030205040100 ij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140
=2J 2
22xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）
-402
-(-20)2
-302
=600
=3J 321σσσ=2
222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000
019200060014023=-+-σσσ
σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7
;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=' ij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
i σ
σ8=σm =46.7
1.39)()()(3
1
2132322218=-+-+-±
=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2
22
3xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，
0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
解：由应力平衡方程的：
0z
y x 0xy 3c xy 2c z y x 0x c y 3c x 3c 6y z y x z
zy zx 23y z y y x 2322212zx
y x x =∂∂+∂∂+∂∂=--=∂∂+∂∂+∂∂=--+-=∂∂+∂∂+∂∂στττστττσ
即：()()0x c -3c
y 3c 6231
22
=++-
（1）
03c 2c 23=-- （2）
有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=3
1-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 0375087500
58050
05⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=
21
，n=2
1的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τ
xz n=240502
180********+=⨯+⨯+⨯
S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n =
25.37252
1752150-=⨯-⨯
S z ＝τxz l ＋τ
yz m ＋σz n=2155.22
130********-=⨯-⨯-⨯
S=111.7
J1=20 J2=16025 J3=-806250
σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6
1-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为
a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a ）点的应力单元体如下图
2）
a)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=01001-001010-00
1ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，
主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±
m=0；n=;2
2
σ2=-10 MPa ，l=m= n=0
