晶体光学简介
一 晶体的介电常数张量
由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的参量。
在各向同性介质中，电位移矢量D 与电场矢量E
满足如下关系： E E D r
εεε0== （1）
由于介电常数r εεε0=是标量，所以电位移矢量D 与电场矢量E 的方向相同，即D
矢量的
每个分量只与E
矢量的相应分量线性相关。
对于各向异性晶体，D 和E
间的关系为
E E D r
⋅=⋅=εεε0 （2） 介量常数r εεε
0=是二阶张量，该关系的分量形式为 ),,,(0z y x j i E D j
j
j
i i ==
∑ε
ε （3）
这里的j i ε是相对介电常数张量元素。由该式可见，电位移矢量D 的每个分量与电场矢量E
的各个分量均线性相关，在一般情况下，D 与E
的方向不同。因此，晶体的相对介电常数
张量可以写为
[]
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1()1()1()1()1()
1()1()1(111z z y z x z z y y y x y z
x y x x x zz zy zx yz yy yx xz xy xx j
i χχχχχχχχχεεεεεεεεεε （4）
由于
[])
1(j
i χ是对称张量，因而晶体的相对介电张量[]j
i ε是一个对称张量，因此它有六个
独立分量，经过主轴变换后的介电常数张量是对角张量，只有三个非零的对角元素，为
[]
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yy xx j
i εεεε000000
（5）
式中，xx ε、yy ε、zz ε称为相对主介电常数。
由麦克斯韦关系式r n ε=，还可以相应地定义三个主折射率
xx x n ε=
，yy y n ε=，zz z n ε= （6）
在主轴坐标系中，电位移矢量与电场强度矢量的分量关系可表示为 ),,(0z y x i E D i
i i i ==εε （7）
对于自然界中存在的七大晶系：立方晶系、四方晶系、六方晶系、三方晶系、正交晶
系、单斜晶系、三斜晶系，由于它们的空间对称性不同，其相对介电常数张量的形式也不同。三斜、单斜和正交晶系中，相对主介电常数zz yy xx εεε≠≠，这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，相对主介电常数zz yy xx εεε≠=，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，其相对主介电常数zz yy xx εεε==。
二 晶体光学的基本方程
在均匀、不导电、非磁性的晶体中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为
0,0,,=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇B D t
D H t B
E （8）
以及物质方程
[]H B E D
0,με== （9）
由麦克斯韦方程组和物质方程，消去H
，可以得到
)]([)(2
0202E k k E n E k k c n D ⋅-=⨯⨯=εμ （10）
式中，k
为平面光波波法线方向的单位矢量，该式即为描述晶体光学性质的基本方程。其分
量形式为
)3,2,1()]([2
0=⋅-=i E k k E n D i i i
ε （11）
将i i E D ~的关系（7）式代入，经过整理可得
0222222=-+
-+
-zz
z yy
y xx
x n k n k n k εεε （12）
该式描述了在晶体中传播的光波波法线方向k
与相应的折射率和晶体的主介电常数之间的
关系，称为波法线菲涅耳方程。 实际上，利用上述基本方程描述平面光波在晶体中传播特性的问题是求解本征方程的问
题，其本征值为m n ，相应的光电场本征矢为)
(m E ，本征方程为
)]([)
()(2
0)()(m m m m m E k k E n E D ⋅-=⋅=εε （13）
晶体中有两个可以传播的横向本征模(矢)。如果用)
(n E 点乘(13)式，可得
)
()(2
0)
()()(1)]([m n m m m n E E n E k k E E ⋅⋅=
⋅-⋅εε （14） 交换指标m 和n 后，有
)
()(2
0)
()()(1)]([n m n
n n m E E n E k k E E ⋅⋅=
⋅-⋅εε （15）
将上二式两边相减，考虑到介电常数张量ε
是对称张量，可以得到
0]11[1
)
()(2
20=⋅⋅-n m n m E E n n εε （16）
如果n m n n ≠，则有
)(0)
()(n m E E n m ≠=⋅⋅ ε （17）
如果n m n n =，仍可选择本征矢使之满足该方程，并可选择本征矢使其满足归一化条件：
1)
()(=⋅⋅m m E E ε （18）
将上面两个方程组合在一起，便给出权重正交性条件：
n m n m E E δε=⋅⋅)
()( （19）
或表示为
n m n m D E δ=⋅)
()( （20）
这个关系叫做双正交条件，它表明每一个矢量与指标不同的另一类型的矢量是正交的。
如果将)
(m D 点乘)]([)()(2
0)()(n n n n n E k k E n E D ⋅-=⋅=εε的等式两边，则有
)
()(2
0)
()()(1)]([n m n
n n m D D n E k k E D ⋅=
⋅-⋅ε （21） 考虑到0)(=⋅k D m
，当n m ≠时，有 0)
()(=⋅n m D D （22）
即晶体中两个自由传播模的电位移矢量是正交的。 由以上讨论可以得到，晶体中相应于某一波法线方向
的两个本征模的光电场矢量方向、电位移矢量方 图1 向及光线方向的关系如图1所示。
在一般情况下，这两个本征模的折射率或速度不相等。
三 光在晶体中的传播规律
现将波法线菲涅耳方程(12)式展开，可以得到一个关于2
n 的二次方程，即
)]()()([)(22
222224
2
22=+⋅+++++-⋅++z z y y x x x z x x z z z y z z y y y x y y x x z z z y y y x x x n k k k k k k n k k k εεεεεεεεεεεε （23）
由此，我们可以利用（20）式和（23）式来分析各向同性介质(包括立方晶体)、单轴晶体及双轴晶体中光波传播模的本征值和本征矢。
