第一节-定积分的概念与性质

第五章
第一节
定积分
定积分的概念与性质
一、问题的提出
我们平时在平面几何和立体几何 中学到的都是非常规则的图形，
y
B
C
D
如三角形、梯形、圆等等。
o
A
C
E
x
b
a
它们的面积计算都由公式给定，理解也相对简单。但是， 现实中还会有另外一些图形，它们的面积计算就无法由 给定的公式给出。如右上图。这样的图形面积应该怎么 计算呢？
i 1
n
求和
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1 , x2 ,xn } 趋近于零 ( 0) 时，
曲边梯形面积为 A lim f ( i )xi
0 i 1
n
取极限
【实例1】（求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 v
v ( t ) 是时间间隔
n i 1
n
2
.... An 称为黎曼和。
称为左黎曼和。
当函数值取左端点值时， 当函数值取右端点值时，
A
i 1
i
A 称为左黎曼和。
i
i
当函数值取中点值时，
A
i 1
n
称为中点黎曼和。
17
左黎曼和 Left Riemann Sums
If we use the function value of the letf point of the interval, the sum is called a Left Riemann Sum L(n). As shown below:
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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源自文库
求曲边梯形的面积A的具体做法：
分割
曲边梯形如图所示， 在区间[a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
(5)
(6) (7)
cos xdx sin x C；
sin xdx cos x C；
sec2 xdx tan x C；
(8) (9) (10)

csc2 xdx cot x C；
t i t i t i 1
(2) 取近似
si v ( i )t i
s v ( i )t i
i 1 n
某时刻的速度
部分路程值
(3) 求和 (4) 取极限
max{t1 , t 2 ,, t n }
n
路程的精确值 s lim v ( i )t i
2 −2
5 −1
8 4
10 −8
Solution: From the definition of Riemann sum
=(−2)×2+(−1)×3+4×3+(−8)×2= −11
显然，按定义计算定积分非常困难，须寻找新的途
径计算定积分，接下来，介绍牛顿—莱布尼茨公式，
从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简 化了定积分的计算。
o a
x1
x i 1 x i
xn1 b
x
作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边矩形.
在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
以 为底，
y
i
x1
x i 1 x i xn1 b
为高的小矩形
面积为
取近似
o a
x
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
Left Riemann Sums
Since And
, Then
;
右黎曼和 Right Riemann Sums
If we use the function value of the right point of the interval, the sum is called a Right Riemann Sum R(n). As shown below:
[ x1, x2 ]， ...， [ xi1, xi ]， ， [ xn1, xn ] 把区间[a,b]分成n个小区间 [ x0 , x1 ]，
y
把区间 [a , b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1;
过每个分点xi(i=1,2,…,n)
1 ln|x|＋c (4)x 的原函数＝________________( x≠0)；
x＋c e (5)e 的原函数＝________________；
x
ax (6)ax 的原函数＝________________ ； lna＋c
sinx＋c (7)cosx 的原函数＝________________ ； －cosx＋c (8)sinx 的原函数＝________________.
Midpoint Riemann Sums
Since And
, Then
;
梯形法则 Trapezoid Rule
Now, we find the areas of the strips as shown below by using trapezoids. We denote the bases of the te1,y2,y3,...,yn+1,and the heights by .
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
【注意】
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.（因为定积分是一个数值）
a f ( x )dx a f ( t )dt a f ( u)du
(2)为了以后讨论方便，规定
b
b
b
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
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若质点以速度v=v (t)作变速直线运动，由定积分定义，质点从
时刻a到b所经过的路程为
，
另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路程记为s(b)−s(a), 则s’(t)= v=v (t) ，于是
注意到路程函数s(t)是速度函数v=v (t)的原函数，因此把定积分 与不定积分联系起来了，这就是下面的牛顿—莱布尼茨公式。
黎曼和 Riemann Sums
一分为二，n=2
一分为四, n=4
一分为八, n=8
一分为n， n→∞
As shown above:
德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)给出了一个巧妙的办法: Ⅰ.将曲线下的不规则图像近似切割成等宽的一个个小矩形(Rectangle); Ⅱ.测量所有小矩形的面积，累加所有小矩形的面积，得到一个面积和; Ⅲ.使用面积和估算曲线下的面积; Ⅳ.将小矩形切割得再小些，重复上述过程，使得估算值更为准确； That is,先把闭区间[a,b]分为n个子区间，把曲边形分割成n个小矩形。 用n个小矩形估算n个小曲边形，我们使用Ai表述第i个小矩形的面积， n个小矩形的面积和: 我们称 为黎曼和(Riemann Sums)
as shown in the table above. Using the intervals [0,2] [2,5] [5,8] and [8,10],what is the approximation of obtained from a right Riemann sum?
x f(x)
0 1
31
通常称F(x)是f(x)的一个原函数
(2) 在计算定积分时，常常用符号
来表示
F(b)−F(a)，牛顿—莱布尼茨公式也可以写作
常见函数的原函数
c ； (1)0 的原函数＝___ x＋c ； (2)1 的原函数＝________
xα＋1 α＋1 ＋c(α≠－1，x>0) (3)xα 的原函数＝________
考虑这样一个问题：
由连续曲线y=f (x) ( f ( x) 0, x [a, b] )、x轴与两条直 线x=a、x=b所围成的图形，这个图像成为曲边梯形(如 图)，它的面积应当如何计算呢？ y 由于不知道它的确切公式， 所以只用用一种近似法的思路
y f ( x)
A?
o
a b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 把区间[a , b]区间划分成多个子区间，并以此为底构建多个 小矩形，通过计算这些矩形的面积并对之求和，从而求得 近似的曲边梯形的面积。
28
函数 f 在[a , b]上满足条件：
(i) f 在[a , b]上连续；
(ii) f 在[a , b]上有原函数F；
则
(1) f 在[a , b]上可积；
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四、微积分第一基础理论 (牛顿-莱布尼茨公式)
设函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, F ( x ) 是 f ( x ) 的任意 一个原函数,则
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
24
Example 1: Approximate the area under curve y=x2 from x=0 to
x=4 using four left-end-point/right-endpoint/midpoint rectangles with equal width.
Solution: Divide the interval to four equal interval [0,1],[1,2],[2,3] and [3,4].
Left Riemann sum:
Right Riemann sum:
Midpoint Riemann sum:
Example 2: The function is continuous on the closed interval [0,10] and has values
二、定积分的定义
若f (x)是定义在闭区间[a ，b]上的函数，如果
lim Ai 存在，则f (x)在[a ，b]
n i 1
n
上是可积分的，称此极限值为f (x)在[a，b]上的定积分。

n
b
a
f ( x)dx lim Ai
n i 1
n
我们将
A A A
i 1 i 1
0 i 1
【实例2】曲线下的面积 Area Under a Curve
How to find the shaded area under the curve of y＝f(x) from x＝a to x＝b? As shown below:
初等数学背景下，曲线下的面积(Area Under a Curve)是相当困难的问题。但 是，运用定积分(The Definite Integral)解答，手到擒来
基本积分表
( 1)
kdx kx C

(k 为常数 );
( 1) ;
1 (2) x dx x 1 C , 1
(3)

1 dx ln | x | C ; x
x x
a (4) a dx C ; ln a
当 a e 时,

e x dx e x C ;
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b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
上述公式通常称为牛顿—莱布尼茨公式,它揭示了定 积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种 简便而有效的方法.
一个连续函数在区间 [a , b]上的定积分可用它的任意 一个原函数在区间 [a , b]端点上的值来表示.
注意：
当 a b 时，上述公式仍成立.
Trapezoid Rule
We get
，And, we have the Trapezoid Rule:
函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为
积分和
积分上限
f ( i )xi a f ( x )dx I lim 0 i 1
积分下限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
Right Riemann Sums
Since And
, Then
;
中黎曼和 Midpoint Riemann Sums
If we use the function value of the midpoint of the interval, the sum is called a Midpoint Riemann Sum M(n). As shown below:
[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ，求物体在这段
时间内所经过的路程.
【思路】把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作
不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的
近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路 程的精确值．
(1) 分割
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2