量子力学典型例题分析解答

量子力学例题

第二章一．求解一位定态薛定谔方程试求在不对称势井中的粒子能级和波函数1．

:] 薛定谔方程[解

故有当 ,

处的连续条件利用波函数在 : 由处连续条件

处连续条件 : 由

供参考．

. 值,可解一个, 为分离能级给定一个n

．2粒子在一维势井中的运动

求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数体系的定态薛定谔方程为][解

时当

对束缚态

解为

处连续性要求在

将代入得

供参考．

又

:相应归一化波函数为

:归一化波函数为

分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为3

求束缚态的能级所满足的方程

束缚态下粒子能量的取值范围为][解

供参考．当时时当薛定谔方程为

令

解为

时当

令

解为

当时

薛定谔方程为

供参考．令薛定谔方程为

解为

由

有, 波函数满足的连续性要求

供参考．

不能同时为零有非零解要使

则其系数组成的行列式必须为零

得方程计算行列式,

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.

一. 有关算符的运算

1.证明如下对易关系 (1)

(2)(3)(4) 供参考．

(5)] [证 (1)

(2)

(3)

若算符是任一标量算符,有 ,一般地

(4)

供参考．

可证明有若算符,是任一矢量算符, 一般地

(5)

=0。同理：

2.证明哈密顿算符为厄密算符

考虑一维情况解][

供参考．

为实数为厄密算符, ,为厄密算符

为厄密算符为厄密算符

,和共同的正交归一化本征函数完备集为3已知轨道角动量的两个算符

共同本征函数, 和对试证明取: : 也是

应本征值。分别为 :

供参考．] [证

。的本征函数的对应本征值为是

的本征函数是的对应本征值为

:又

:可求出

有关力学量平均值与几率分布方面.二 1.的一个本征函数并求出相应的证明(1) 是

态中的平均值本征值；(2)求x在

解[]

供参考．

即

的本征函数。本征值是

2.的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数设粒子在宽度为a

描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

【解】

的一维无限深势井的能量本征函数a宽度为

是否归一化波函数:注意供参考．能量本征值

的几率出现 , 出现的几率

能量平均值

另一做法

时的归一化波函数为一维谐振子在 3 .

供参考．的）是谐振子的能量本征函数，求（所描写的态中式中，式中1

时系统的波函数数值；2）在）；态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3

时能量的可能值相应的概率及平均值）（4

，归一化，] [解(1) ,

， 2（），

，；，；

，；

时，3）（

所以：

）。时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（24．设氢原子处于状态

供参考．

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

[解] 能量本征值

能量本征态

当n=2

时

本征值

为的

％，100出现的几率为

供参考．。出现的几率分别为：可能值为

试求下列期望值和下共同的本征态, 5 .在轨道角动量

. (1). (2);

： [解]

测不准关系三

为常数,求粒子的动量的平均值,1.并计算粒子处于状态式中

测不准关系

先归一化解][

(1)动量平均值

供参考．

(2)

供参考．

(3)

: 附常用积分式：）1（）（2

）（3

第四章例题

．力学量的矩阵表示1供参考．及动量算符和构造成算符由坐标算符的归一化本征矢

的物理意义和）下的期望值；2. 试分别：1）. 求和给出在态

已归一化【解】（1）. 设态矢

（粒子位置几率密度）

）（2

化到坐标表象）（利用

又：,

上式

供参考．试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符2.的本征值为0.）和. 是厄密算符，（2）有1

，（3（1）.

厄密算符的定义 . 【证】（1）

为厄密算符

已归一化(2)

的本征值方程由（3）.

,

又：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用）

分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基3.态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

所描述的状态，基态波函数【解】

表象：在）（1. x供参考．

）. 动量表象：（2

供参考．

（3）. 能量表象

不同的表象是从不同侧面来进行描述同样一个态在不同表象中的表示是不同的，.

的的矩角动量空间中写出,,的共同表象，在取和4.

阵（本题主要考查算符矩阵的求法）

供参考．【解】 ,的共同本征函数为

空间在

, ）. （1

同样