2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）
一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的
取值范围为 。
【答案】 (15)-，
【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。 由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。 若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。 ∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，
3()f x x =，则 。
【答案】
1
8
【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。 又()f x 为奇函数，
∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111
()()()()22228
f f f ==--=--=。
3．已知
{}
n a 为等比数列，且
120171
a a =，若，则
1232017()()()()f a f a f a f a ++++= 。
【答案】 2017
【解答】由知，2
22
2212222()()211111()x f x f x x x x x
+=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。
∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=
=+=。
∴ []12320172()()()()f a f a f a f a +++
+
[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++
22017=⨯。
∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a +++
+=。
4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。
【答案】
27
【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同
分配方案有3
735C =种。（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3
块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）
其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2510C =种。（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）
所以，所求的概率为。
5．三棱锥P ABC -中，ABC △
是边长为
PB PC ==P BC A --的大小为45︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 。
【答案】 25π
【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。
由ABC △
是边长为
PB PC ==
AD BC ⊥，PD BC ⊥
，PD =
∴ PDA ∠为二面角P BC A --的平面角，
45PDA ∠=︒，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。
作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。
∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。
设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。 则O 在直线1PO 上，且2
2211PO PO
O A OA -+=。
∴ 222(1)2R R -+=，，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
425R ππ=。
6．已知P 为双曲线C ：上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12
PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
【答案】
【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙及12PF F △三边相切的切
点。
则由切线长定理以及双曲线定义，得
121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-
()()2D D D x c c x x =+--=
A
∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。
设00()P x y ，
，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。
∴ 221(64)(460)14PF =++-=，
222(64)(460)10PF =-+-=。
设12PF F △内切圆半径为r ，则
1212121
()162
PF F S PF PF F F r r =++⨯=△。
另一方面，
1212011
84616622
PF F S F F y =⨯⨯=⨯⨯=△。
∴ 16166r =，6r =。
7．在ABC △中，内角A 、B 、
C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22
A A
C C =-，
，4a =，则ABC △的面积为 。
【答案】 6 【解答】由sin cos
(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222
A A A
C C =-。 ∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。 ∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。 ∴ sin sin 2sin C B A +=，即2c b a +=。 又，4a =。
∴ 22242cos b c bc A =+-，即2223
4(8)2(8)5
b b b b =+---⨯，解得3b =或5b =。
∴ ，或。
∴ ABC △的面积114
sin 356225
S bc A ==⨯⨯⨯=。
8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22
(4)a b +-的最小值为 。
【答案】 2
【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。
∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++
