《数学物理方法》复习题

数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。

数学物理方法复习资料及参考答案（一）数学物理方法复习资料及参考答案（一）一、填空题： 1. 复数ii -+11用三角式可表示为（主辐角[)π2,0）。

2. 已知幂级数∑∞=0k kk z a 和∑∞=0k kk z b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞=±0k k k k z b a 的收敛半径为：。

3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。

4. 在00=z 的邻域上，z e z f 1)(=展开的洛朗级数为：。

5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝。

6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ?，初始速度为)(/x a ?-，=),(t x u 。

7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为：。

8. 幂级数()∑∞=-11k k i z k的收敛圆：。

9. 数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。

10. 在本征值问题()()()'''12012--+=-1<<±1??x y xy y x y λ有限中，方程()'''1202--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程，该本征值问题的本征值λn =___ _ ，相应本征函数是y x n ()=__________，其中n=___ _ ____，该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。

二、简答题：1、孤立奇点分为几类？如何判别？2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。

三、基础题：1、计算实变函数定积分()()222294x dxI xx ∞=++?2、已知解析函数()f z 的实部233),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。

1数学物理方法复习题1. 利用Laplace 变换方法求解下述常微分方程()()()24,01,02,0 2.y y y y y y 좢¢¢¢¢-+=ïïí¢¢¢ï===-ïî 2. 利用Laplace 变换方法求解下述常微分方程组()()()320,20,00,01,00.x x x y y x x y y x x y ì¢¢-++-=ïï-++=íïï¢===ïïî 3. 应用积分变换求解下面的热传导方程()()20,,,0,|,.t xx t u a u f x t x t u x x j =ìï-=-¥<<¥>ïíï=-¥<<¥ïî 4. 利用积分变换求解半无界弦上的微小横振动问题 ()()20000,0,0,0,0,,lim ,.tt xx t t t x x u a u x t u u u f t u x t === +¥ìï-=>>ïïï==íïï=<+¥ïïïî 5. 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题 2000,(0),0.t xx x t u a u x u N u ==ìï=>ïïï=íïï=ïïî 6. 求解初值问题2002350,5,0.xx xy yy y y y u u u u x u ==ì--=ïïíï==ïïî 7. 求圆锥杆的纵振动问题。

课程试卷库测试试题（编号：3 ）一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”，共5题，每题4分） 1、在复数领域，函数Z a -是一个多值函数。

√2、若函数()f z 在闭单通区域B 内存在奇点，则一般来讲，()f z 沿B 境界线的积分不等于零。

√3、若()f x 的傅里叶变换像函数是()F ω，则0()i xef x ω的像函数是0()F ωω-。

√4、复变函数21()(2)f z Z =+在上半平面的二阶极点是2。

×5、一端固定，另一端自由的均匀细杆的纵振动，其边界条件属于第一类齐次边界条件。

× 二、填空题（共5题，每题4分）1、c osix 的模为2xxe echx--=2、在00Z =，s inZZ 的洛朗级数为241113!5!z z -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3、c te os t ω-的拉普拉斯变换函数为()2211p p ω+++4、三维扩散方程可写为2t u a u -∆=5、扩散流强度q 的物理意义是单位时间内通过单位横截面积的原子或分子数。

三、选择题（共5题，每题4分）1、复变函数的回路积分21cos Z Z dZZ=⎰的积分值为3⑴ i ， ⑵ i -， ⑶ 0， ⑷ 2i π。

2、复变函数2()(1)(2)Zf z Z Z =--的极点和留数问题，正确的说法是：1⑴ 单极点1，留数1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑵ 二阶极点1，留数为1 ；二阶极点2，留数为1-； ⑶ 一阶极点1，留数为1- ；二阶极点2，留数为1-；，⑷ 一阶极点1，留数为1-；二阶极点2，留数为1；3、函数s te h t λω的拉普拉斯像函数为：2⑴ 22()p ωλω-+， ⑵ 22()p ωλω--，⑶ 22()p p λλω--+， ⑷ 22()p p λλω---。

4、求解二维拉普拉斯方程22222110uuuρρρρϕ∂∂∂++=∂∂∂，令(.)()()u R ρϕρϕ=Φ，要求()(2)()()R R ρϕπρϕΦ+=Φ，则此条件属于4⑴ 第一类边界条件， ⑵ 第二类边界条件， ⑶ 第三类边界条件， ⑷ 自然周期条件。