代数基本定理

学校代码：10200 学号：1212408014

本科毕业论文

代数基本定理

学生姓名：龚 鹏 指导教师：陈良云 教授 所在学院：数学与统计学院 所学专业：数学与应用数学

中国·长春

2012年5月

摘要

本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论知识，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：第一节是复函数和复分析；第二节是柯西-黎曼方程；第三节是保角映射和解析性.部分二主要介绍了运用伽罗瓦理论的知识来证明代数基本定理,使得代数基本定理更简单而且容易理解.部分二主要分为三节：第一节是伽罗瓦理论概述；第二节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.

关键词：柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张

Abstract

This thesis explains the method of the fundamental of algebra, complex analysis to prove that the methods and group theory, divided into two major contents. The content one introduces complex analysis and complex function of the basic theoretical knowledge, to lay the foundation behind the complex analysis of the fundamental theorem of algebra to prove. The content one is divided in three: Section one is the complex functions and analysis; Section two is the Cauchy-Riemann equations; Section three is the conformal mapping and analytic nature. The contents of two main use of the knowledge of the Galois theory to prove the fundamental theorem of algebra, fundamental theorem of algebra is simple and easy to understand. The content two is mainly divided into three: Section one is an overview of the Galois theory; Section two is some of the conclusion of the Galois expansion.

Keywords:Cauchy-Riemann equations, Conformal mapping, Fundamental Theory of Algebra, Permutation group, Galois expansion

目录

摘要 (1)

Abstract (2)

目录 (3)

1 复分析和复函数 (4)

1.1复函数和分析性 (4)

1.2柯西-黎曼方程 (6)

1.3 保角映射和解析性 (10)

2伽罗瓦定理 (12)

2.1伽罗瓦理论概述 (12)

2.2有限群理论的一些结论 (12)

2.3伽罗瓦扩张 (15)

参考文献 (17)

致谢 (18)

1 复分析和复函数

1.1复函数和分析性

本章的最后部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微积分.然而，证明表明了一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论出发，代数基本定理将是一个很简单的结论.为了解释这种方法，我们必须先介绍复分析，复变函数的基本概念.

复函数w=f(z)，函数f: C →C.w ，z ∈C.那么为复变函数的复平面的几何解释，一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若z=x+iy=(x ，y)，w=u+iv ，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.w=f(z)=u(z)+v(z) 函数u(z)称为f(z)的实部，记为Ref(z);v(z)称

为f(z)的虚部，记为Imf(z).f(z)的分析问题很多情况都回归到分析u(x ，y)与v(x ，y).

例1.1.1 考虑复函数z z f 2

)(=，决定于它的实部和虚部.

假设z=x+iy ，那么)

2()()(2

2

2

2

xy i

y

x iy x z

+-

==+.因此Ref(z)=

y

x 2

2

-

，Imf(z)=2xy.

若

C z

∈且0z 的一个开领域记为N ε(0z ) N ε

(0z )={

}0,||z C z z ε∈-<.

一个区域是任意复数集合.区域

U C ⊂是开的当且仅当对任意的

,0()U z U N z εε∈∃>⊂满足.区域C C ⊂是闭的当且仅当它的补集1

c 是开集.等价的说，C 是闭集当且仅当所有的收敛序列

}{n

C

z ⊂都有

n

z C z

→∈.区域U 是有界的当

}{;||,U z z r r R ⊂≤∃∈.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一

个实值函数在一个紧凑区域D 上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U 是连通的当U 中任意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U 内.

现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义复函数的极限. 定义 1.1.1 0

0lim (),

z z f z w →=

0,ε∀>对0,δ∃>0<当0||z z -,δ<时都有

0|()|f z w ε-< .其中0|()|f z w -0||z z -与表示复平面上的距离.

所有的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.实际上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.

引理1.1.1 若f(x)=u(z)+iv(z)则0

lim ()lim ()lim ()z z z f z u z i v z z z z →

→

→

=+.

例1.1.22

2

()()(2)f z i xy y x =+

+，求1lim

()z i

f z →+.

由引理1.1.1

i a +=20

.运用极限，我们可以研究连续和可微.