九年级上册数学 二次函数单元测试卷(含答案解析)
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九年级上册数学
二次函数单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1
236 25
S
S
=时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α
（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2
3
E'B的最小值．
【答案】（1）抛物线y＝﹣3
4
x2+
9
4
x+3，直线AB解析式为y＝﹣
3
4
x+3；（2）P（2，
3 2）；（3
410
【解析】
【分析】
（1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出
6
5
PN
AN
=，以此列出方程求解即可解决问题；
（3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4
3
，构造相似三角形，可以证明AM′就是
E′A+2
3
E′B的最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），
则有
3
30 n
m m n
⎧
⎨
⎩++
＝
＝
，解得4
3
3
m
n
⎧
⎪
⎨
⎪
-
⎩
＝
＝
，
∴抛物线2
39
3
44
y x x
=-++，
令y＝0，得到2
39
3
44
x x
-++＝0，
解得：x＝4或﹣1，
∴A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
3
40
b
k b
+
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
解得
3
3
4
k
b
⎧
-
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
∴直线AB解析式为y＝3
4
-x+3．
（2）如图1中，设P（m，2
39
3
44
m m
-++），则E（m，0），
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1
2
36
25
S
S
＝，
∴6
5
PN
AN
=，
∵NE∥OB，
∴AN AE
AB OA
=，
∴AN＝5
4
5
4
5
4
5
4
（4﹣m），
∵抛物线解析式为y ＝239
34
4
x x -++， ∴PN ＝239344m m -
++﹣（34-m+3）＝3
4
-m 2+3m ， ∴23
364
55(4)4
m m
m -+=-， 解得m ＝2或4（舍弃）， ∴m ＝2， ∴P （2，
3
2
）． （3）如图2中，在y 轴上 取一点M′使得OM′＝4
3
，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE ．
∵OE′＝2，OM′•OB ＝4
3
×3＝4， ∴OE′2＝OM′•OB ， ∴
OE OB
OM OE '=''
， ∵∠BOE′＝∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB ，
∴
M E OE BE OB '''='＝2
3
， ∴M′E′＝2
3BE′，
∴AE′+23BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+2
3BE′最小（两点间线段最短，A 、M′、E′共线
时），
最小值＝AM′2244()3
+410
． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM ′就是AE′+2
3
BE′的最小值，属于中考压轴题．
2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ． （1）求抛物线L 的对称轴．
（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．
（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2x =；（2）2
122
y x x =-
+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(
33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．
（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题． （3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可． 【详解】
解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a
a
-＝2． （2）如图1中，