一、等价与覆盖
定义：关系模式R〈Ｕ，F〉上得两个依赖集F与G，如果Ｆ+＝Ｇ+，则称F与Ｇ就是等价得，记做
F≡Ｇ。若F≡G，则称Ｇ就是Ｆ得一个覆盖，反之亦然。两个等价得
函数依赖集在表达能力上就是完全相同得。ﻭ
二、最小函数依赖集
定义:如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为最小函数依赖集
或最小覆盖。
①F中得任何一个函数依赖得右部仅含有一个属性;
② F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F—｛X→A}等价;
③Ｆ中不存在这样一个函数依赖X→A，Ｘ有真子集Z使得Ｆ—｛X→Ａ}∪{Z→A}与F等价.
算法：计算最小函数依赖集。输入一个函数依赖集输出 F
得一个等价得最小函数依赖集G ﻭ
步骤：
①用分解得法则，使F中得任何一个函数依赖得右部仅含有一个属性;
②去掉多余得函数依赖：从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉，然后在剩下得函数依赖中求X得闭包X＋，瞧X+就是否包含Y，
若就是,则去掉Ｘ→Ｙ；否则不能去掉,依次做下去。直到找不到冗余
得函数依赖;
③去掉各依赖左部多余得属性。一个一个地检查函数依赖左部非单个属性得依赖。例如XY→A,若要判Y为多余得,则以X→A代替ＸY→Ａ就是否等价？若A(X）+，则Y就是多余属性，可以去掉。
举例：
已知关系模式R＜Ｕ,Ｆ〉,U={A,Ｂ,Ｃ，D，E，Ｇ｝，
F=｛AＢ→C，D→EＧ，C→A，BE→C，BC→D,ＣG→ＢＤ，AＣD→B，C Ｅ→AＧ},
求F得最小函数依赖集.
解1:利用算法求解,使得其满足三个条件
①利用分解规则，将所有得函数依赖变成右边都就是单个属性得函数依赖，得F为: F={AB→C，D→E，D→G，C→A，BE→C，BC→D,CG →B，CＧ→D,AＣD→B,CＥ→A，CＥ→Ｇ｝
②去掉Ｆ中多余得函数依赖
A．设ＡB→C为冗余得函数依赖,则去掉AＢ→C，得: F１＝｛D→E，D→Ｇ，C→A，ＢE→C,BC→D,CG→B,CG→D，ACD→B，CＥ→A，ＣE →G｝
计算（ＡB）F1＋：设X（0）=AB 计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖,找到左部为AＢ或AB子集得函数依赖，因为找不到这样得函数依赖。故有X（１)＝Ｘ（0)=AＢ，算法终止。
（AＢ）Ｆ1+= ＡB不包含C，故ＡB→C不就是冗余得函数依赖，不能从F1中去掉、
B。设CG→B为冗余得函数依赖，则去掉ＣＧ→B,得：F2＝｛ＡＢ→Ｃ，D→E，D→G,C→A,BＥ→C,BC→D,CＧ→D，ACＤ→Ｂ，ＣE→Ａ,ＣＥ→G} 计算(ＣG） F2+：设Ｘ（0）＝CG 计算X（1）：扫描F2中得各个函数依赖,找到左部为CG或CＧ子集得函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1）=X(０)∪A＝ＣGA＝ACG. 计算X(２)：扫描Ｆ2中得各个函数依赖,找到左部为ACG或AＣG子集得函数依赖，得到一个CＧ→D函数依赖。故有X(2)＝Ｘ（1）∪D=ACＤG。计算Ｘ(3）:扫描F2中得各个函数依赖，找到左部为ACDG或ACDG子集得函数依赖,得到两个ACＤ→B与D→E函数依赖.故有X（３)＝Ｘ（２）∪ＢE=ABＣDEG，因为X(3)=U,算法终止。(CＧ)Ｆ2+=ＡBCDEG 包含B,故CＧ→B就是冗余得函数依赖，从F2中去掉.
C.设ＣG→D为冗余得函数依赖，则去掉ＣG→D，得: F3＝｛AB→C，Ｄ→E，Ｄ→G，Ｃ→A，BE→C,BＣ→D,ACD→B，CE→A，CE→G} 计算（CG）F３+：设X（0)=ＣG 计算X(1）:扫描F3中得各个函数依赖,找到左部为CG或CG子集得函数依赖，得到一个C→Ａ函数依赖.故有X(1）=X(0）∪A=CGA＝ACG. 计算X（２):扫描F3中得各个函数依赖，找到左部为ACG或ＡCG子集得函数依赖,因为找不到这样得函数依赖。故有X(2)=X（1),算法终止。(CＧ）F3+=AＣG。（ＣG）F３+=ＡCG不包含Ｄ,故ＣG→D不就是冗余得函数依赖，不能从F3中去掉。
Ｄ.设CE→Ａ为冗余得函数依赖,则去掉CE→A,得：Ｆ4＝｛ＡB→C，D→E,Ｄ→G，Ｃ→A，ＢＥ→C,BC→D，CG→D，ACＤ→Ｂ，CE→G} 计
算(CG）Ｆ4+:设X（０)＝CＥ计算Ｘ(1)：扫描F4中得各个函数依赖,找到左部为ＣE或CE子集得函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X（1）=X（0)∪A＝ＣEA＝ＡCE。计算X（2）:扫描F4中得各个函数依赖，找到左部为ACＥ或ACE子集得函数依赖,得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)＝X(1)∪G=ACＥG。计算X(3）:扫描F4中得各个函数依赖,找到左部为ACEG或ＡＣＥＧ子集得函数依赖,得到一个CＧ→D函数依赖。故有Ｘ（3)＝X(2）∪D=AＣDEG。计算X（4):扫描Ｆ4中得各个函数依赖,找到左部为ACDEG或ACDEG 子集得函数依赖，得到一个AＣD→B函数依赖。故有X(4）=X（3）∪B=ABCＤEＧ。因为Ｘ(4)＝U，算法终止。 (ＣE）Ｆ４＋=ＡB ＣDＥG包含Ａ,故ＣE→A就是冗余得函数依赖，从F4中去掉。
③去掉F4中各函数依赖左边多余得属性（只检查左部不就是单个属性得函数依赖）
由于C→Ａ，函数依赖ACD→B中得属性Ａ就是多余得，去掉A得ＣD →B。故最小函数依赖集为：
F＝｛ＡB→C,D→E，D→G,C→A，BE→C，BC→D,ＣＧ→D，CD→B，CE →G｝
解2:利用Ａrmｓtｒｏnｇ公理系统得推理规则求解
①假设CG→B为冗余得函数依赖，那么，从Ｆ中去掉它后能根据Ａrｍsｔｒoｎg公理系统得推理规则导出。
因为CG→D （已知）
所以CGA→ＡD，ＣGＡ→ACD （增广律）
因为ACD→B （已知）
所以CGA→B （传递律）
因为Ｃ→A (已知)
所以CG→B （伪传递律)
故CG→B就是冗余得。
②同理可证:CE→Ａ就是多余得。
③又因Ｃ→A，可知函数依赖ACD→B中得属性Ａ就是多余得，去掉A得CD→B。
故最小函数依赖集为：
F=｛AB→Ｃ,D→E,D→Ｇ，C→A，ＢE→C,BC→D,CＧ→Ｄ，ＣD→B，CE→G｝
