高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论
课题
1：2
2
a b ±
结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆
122
22=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM
-=• 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OM
k 双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM
=• )0,0(122
22>>=-b a b
x a y 22AB b
a k =•OM
k 抛物线
)0(22>=p px y M p
y k AB =
)0(22>-=p px y
M
p y -
k AB = )0(22>=p py x
p M
x k AB =
)0(22>-=p py x
p
M
x -
k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+
=1（a ＞b ＞0）相
交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】
2
2 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
，
，
∵过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得
，∴a=
b ，
∴=b ，∴e==
2
2． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22
a
-1b =22
【2013新课标1理10】已知椭圆E ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直
线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．
A ．
22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22
=12718
x y + D ．22=1189x y + 【答案】D
【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，
∴22
1122
22
2222
1,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②
①－②，得1212121222
=0x x x x y y y y a b
(+)(-)(+)(-)
+， 即2
121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)
， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，
而1212y y x x --＝k AB ＝011=312
-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.
∴椭圆E 的方程为
22
=1189
x y +.故选D. 【2010新课标理12】已知双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （﹣12，﹣15），则E 的方程式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由已知条件易得直线l 的斜率为k=k PN =1， 设双曲线方程为
，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则有
，两式相减并结合x 1+x 2=﹣24，y 1+y 2=﹣30得=，
从而=
=1即4b 2=5a 2，又a 2+b 2=9，解得a 2=4，b 2=5。
【2010全国2理21】 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22
22100x y a b a b
-=＞，＞相
交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M .求C 的离心率； 【答案】2
【解析】解法一：由题设知，l 的方程为： 2.y x =+
带入C 的方程，并化简，得2
2
2
2
2
22
()440.b a x a x a a b ----=
设1122(,),(,),B x y D x y 则 2222
12122
222
44,,a a a b x x x x b a b a
++==--- ① 由(1,3)M 为BD 的中点知12
12
x x +=，故22
2
141,2a b a ⨯=- 即223b a =， ② 故222,c a b a =+=所以C 的离心率 2.c
e a
=
=
解法二：由22BD a k b k OM =•，即1˙3=22a b ，e=22
a
1b +=2
【2014四川模拟】过点M （1,2）的直线交双曲线12
x 2
2
=-y 于A ，B 两点，OB OA OM 2
1
21+=，求直线AB 的方程。22AB a k b k OM =•=2，又因k OM =2,所以K AB =1.由点
