解析几何体表面积和体积
几何体的表面积和体积解答基础
1．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积．
解：圆锥的高，圆柱的底面半径r=1，表面积：圆锥体积：=．
∴三棱台的侧面积S=3××=；
三棱台的体积V=×（×32+×62+×3×6）×=．
3．四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AB⊥BC，现将该梯形绕AB旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积．
解：依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下
部为圆柱的图形，如下图所示：
其表面积S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积；
∴S=4+8π+4π=12π+4；
其体积V=圆锥体积+圆柱体积；
∴V=．
4.如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中挖去一个高为的内接圆柱；
（1）求圆柱的表面积；
（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积．
解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为R、r，高分别为h、h′．
（1）圆锥的高h==2，
又∵h′=，
∴h′=h．∴=，∴r=1．
∴S
表面积=2S
底
+S
侧
=2πr2+2πrh′
=2π+2π×=2（1+）π
（2）所求体积
=
5．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为 a
（1）求它的外接球的体积
（2）求他的内切球的表面积．
解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，
设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，
∴外接球的体积为=；
（2）设内切球的半径为r，则
∴r= a
∴表面积为4πr2=．
6．已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积．
解：设底面半径为r，直圆柱体的高为h
因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个
正方形边长
所以有底面周长2πr=a，h=a，解得，
由公式圆柱体体积V=πr2h=．7．已知某个四面体的棱长均为a，
（1）求该四面体外接球的体积；（2）求该四面体内切球的体积．
解：（1）：∵正四面体的棱长为a，∴此四面体一定可以放在正方体中，
∴我们可以在正方体中寻找此四面体．
如图所示，四面体ABCD满足题意，BC=a，∴正方体的棱长为a，
∴此四面体的外接球即为此正方体的外接球，∵外接球的直径=正方体的对角线长，
∴外接球的半径为R=•=a，所以，球的
体积为π•a3=πa3．
（2）设正四面体的内切球的半径为r，由于正四面体的每个面的面积为S=•a•a•sin60°
=a2，正四面体的高为h==a，
故正四面体的体积为V=Sh=a3．
再根据V=4[sr]=4×[•a2•r]，可得a3=4
×[•a2•r]，求得r=a，
故四面体内切球的体积V′=π•r3=•a3．
8．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．
解：设正方形ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圆上，如图
则球心O为ABCD的中心，连结OA'
∵正方体的棱长为，
∴A0=A′C′=，可得A'O=，
即半球的半径R=3，
因此，半球的表面积为；
体积V=．
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