直线与方程小结复习
教学目标：
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． （3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
（4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及
一般式），了解斜截式与一次函数的关系． （5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距
离．
教学方法：探究、交流、讲授结合 教学计划：2课时 教学过程： 第一课时： 知识点梳理：
1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)0,π.
斜率：当直线的倾斜角不是90︒时，则称其正切值为该直线的斜率，即tan k α=; 当直线的倾斜角等于90︒时，直线的斜率不存在。
说明：（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； （2） 斜率为倾斜角的函数： 2．斜率的求法：
（1）定义法：tan k α=（︒≠90α）
（2）坐标法：过两点()111,P x y ,()222,P x y ()12x x ≠的直线的斜率
公式:21
21
tan y y k x x α-==
- 若12x x ≠，则直线12P P 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90︒.
（3）由直线方程求其斜率：直线0Ax By C ++=的斜率为B
A k -
= 3.直线方程的几种形式：
基本题型：
问题1：斜率与倾角 ：
例1：已知两点()1,2A -，(),3B m . （1）求直线AB 的斜率k ；
（2）若实数1m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求AB 的倾斜角α的范围. 例2．已知直线l 过点()0,0P 且与以点()2,2A --，()1,1B -为端点的线段相交，
求直线l 的斜率及倾斜角α的范围. 问题2．直线l 的方程
例3：求满足下列条件的直线l 的方程：
（1）过两点()2,3A ，()6,5B ；（2）过()1,2A ，且斜率为2
3
=
k ；
（3）过()3,2P ，倾斜角是直线30x -+=的倾斜角的2倍； （4）过()5,2A -，且在x 轴，y 轴上截距相等；
（5）在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6.
同步练习：
1、如右图，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 A ．123k k k << B ．312k k k << C ．321k k k << D ．132k k k <<
2、下面命题中正确的是：
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示.
B ．经过任意两个不同的点()111,P x y ,()222,P x y 的直线都可以用方程
()()121y y x x --=()()121x x y y --表示；
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1=+b
y
a x 表示 D ．经过点()0,A
b 的直线都可以用方程y kx b =+表示 3、过点()2,1-在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4、已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .
5、一直线过点()3,4A -，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是
6、已知点A （-2，4）、B （4，2），直线l 过点P （0，-2）与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .
7、已知(),3A a -，()5,B a -两点，直线AB 的斜率为1，若一直线l 过线段AB 的
l 的方程；
第二课时：
4、直线与直线的位置关系
1．平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交.
（1）当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2．点到直线的距离、直线与直线的距离： （1）点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为：
d =
22(0)A B +≠
（2）直线12l l ∥，且其方程分别为1l ：10Ax By C ++=,2l ：20Ax By C ++=
则1l 与2l 的距离为：d =22(0)A B +≠
3．对称问题
（1）点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为
(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为
(),b a --.
（2）点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：
①设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫
⎪⎝⎭
一定在直线0ax by c ++=上.
②直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即
001y b a x a b -⎛⎫
⋅-=- ⎪-⎝⎭
（3）点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关
于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=. 4．直线系方程：
（1）直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. （2）过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =
（3）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） （4）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=
（5）过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：
()()1
1
1
2
2
2
0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2
l ）
典例分析：
问题1. 已知两条直线1l ：40ax by -+=和2l ：()10a x y b -++=，求满足下列条件的,a b 值：（1）12l l ⊥，且过点()3,1--（2）12l l ∥，且坐标原点到这两条直线的距离相等.
问题2. 已知两条直线1l ：20x y a -+=()0a >。直线2l ：4210x y -++=和直线
且1l 与2l 的距离是
10
. 求a 的值； 问题3. 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q . （1）求入射光线的方程；（2）求这条光线从点P 到点Q 的长度. 问题4. 根据下列条件，求直线的直线方程
（1）求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； （2）经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； （3）经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直. 问题5. 综合问题
（1）已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为 . （2）求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点.
