人教版九年级上册数学 圆 几何综合单元测试卷(解析版)

人教版九年级上册数学圆几何综合单元测试卷（解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.

（1）求证：∠E=∠C；

（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；

（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5

.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；

（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；

（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.

试题解析：（1）如解图，连接OB，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，

∴∠ABD＝∠CBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，

∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.

∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，

∴∠E＝∠C；

（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，

∴AO＝5，∴AB＝4.

∵BD∥OE，

∴＝，

∴＝，

∴BE＝6，AE=6+4=10

（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得

S△ABC= S△AOE==

2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）

1

3

2

y x

=-+（2）d=5t （3）故当 t=

8

5

，或8

15

，时，QR=EF，N（-

6，6）或（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-

a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；

（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;

试题解析：

（1）∵C（0，8），D（-4，0），

∴OC=8，OD=4，

设OB=a，则BC=8-a，

由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

则（8-a）2=a2+42，

解得：a=3，

则

B （0，3），

tan ∠ODB=34

OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=

34OA OC = ， 则OA=6，

则A （6，0）， 设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，

则60{3k b b +== ，解得：1{23

k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-

12 x +3； （2）如图所示：

在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，

则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OA cos BAO AB

∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，

则AQ=

10cos AP t BAO

=∠ , ∵PR ∥AC ，

∴∠APR=∠CAB ， 由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，

∴∠BAO=∠APR ，

∴PR=AR ，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，

∴∠PQA=∠QPR ，

∴RP=RQ ，

∴RQ=AR ，

∴QR=12

AQ=5t,

（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，

∵EF=QR ，

∴NS=NT ，

∴四边形NTOS 是正方形，

则TQ=TR=

1522

QR t = ， ∴1115151022224

NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，

若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），

点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，

故N （-6，6），NT=6，

即

1564

t = ， 解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），

可得：132

n n =-

+ , 解得：n=2，

故N （2，2），NT=2， 即

1524

t =, 解得：t=815 ∴当 t =85，或815

，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。 点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、