《线段的垂直平分线》典型例题
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典型例题
例1.如图,已知:在ABC ∆中,︒=∠90C ,︒=∠30A ,BD 平分ABC ∠交AC 于
D .
求证:D 在A B的垂直平分线上.
分析:根据线段垂直平分线的逆定理,欲证D在AB 的垂直平分线上,只需证明DA BD =即可.
证明:∵︒=∠90C ,︒=∠30A (已知),
∴ ︒=∠60ABC (∆Rt 的两个锐角互余)
又∵BD 平分ABC ∠(已知)
∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302
1. ∴AD BD =(等角对等边)
∴D 在AB 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
例2.如图,已知:在ABC ∆中,AC AB =,︒=∠120BAC ,AB 的垂直平分线交AB于E,交BC 于F 。
求证:BF CF 2=。
分析:由于︒=∠120BAC ,AC AB =,可得︒=∠=∠30C B ,又因为EF 垂直平分AB ,连结AF ,可得BF AF =. 要证BF CF 2=,只需证AF CF 2=,即证︒=∠90FAC 就可以了.
证明:连结A F,
∵E F垂直平分AB (已知)
∴FB FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等) ∴B FAB ∠=∠(等边对等角)
∵AC AB =(已知),
∴C B ∠=∠(等边对等角)
又∵︒=∠120BAC (已知),
∴︒=∠=∠30C B (三角形内角和定理)
∴︒=∠30BAF
∴︒=∠90FAC
∴FA FC 2=(直角三角形中,︒30角所对的直角边等于斜边的一半) ∴FB FC 2=
说明:线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得,初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理,容易舍近求远,由三角形全等来证题.
例3.如图,已知:AD 平分BAC ∠,E F垂直平分AD ,交B C延长线于F ,连结AF 。
求证:CAF B ∠=∠。
分析:B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中,又B ∠,CAF ∠所在的两个三角形不全等,所以欲证CAF B ∠=∠,不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ,可得FD FA =,因此ADF FAD ∠=∠,又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠,BAD ADF B ∠-∠=∠,而BAD CAD ∠=∠,所以可证明B CAF ∠=∠.
证明:∵E F垂直平分AD (已知),
∴FD FA =(线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等). ∴ADF FAD ∠=∠(等边对等角)
∵BAD ADF B ∠-∠=∠(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
CAD FAD CAF ∠-∠=∠,
又CAD BAD ∠=∠(角平分线定义),
∴CAF
∠
B∠
=
说明:运用线段的垂直平分线的定理或逆定理,能使问题简化,如本例题中,EF 垂直平分AD,可以直接有结论FD
FA=,不必再去证明两个三角形全等.
例4.如图,已知直线l和点A,点B,在直线l上求作一点P,使PB
PA=.
分析:假设P点已经作出,则由PB
PA=,那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知,点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线l上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点。
作法:1.连结AB.
2.作线段AB的垂直平分线,交直线l于点P.
则P即为所求的点.
说明:在求作一个点时,要考虑该点具备什么样的特点,如它到一条线段的两个端点距离相等,它就在连结这两点的线段的垂直平分线上,如果它到一个角的两边的距离相等,它就在这个角的平分线上.