平面解析几何
一．直线部分
1．直线的倾斜角与斜率：
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.
倾斜角)180,0[︒∈α
,︒=90α斜率不存在.
（2）直线的斜率：
αtan ),(211
21
2=≠--=
k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.
2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：
)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．
（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).
|
（3）两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠).
注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
② 方程形式为：0))(())((112112
=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．
（4）截距式：
1=+b
y
a x （
b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）
． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．
（5）一般式：
0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．
一般式化为斜截式：B
C x B A y --=，即，直线的斜率：B A
k -=．
注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．
已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．
已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为
00()y k x x y =-+或0x x =．
！
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．
3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:
l y k x b =+，222:l y k x b =+
①
212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111
=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有
①
1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．
，
5．平面两点距离公式：
(111(,)P x y 、222(,)P x y )，2
212212
1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：
A
B x x AB -=．
线段2
1P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=22
2
10210y y y x x x ．
6．点到直线的距离公式：
点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
．
7．两平行直线间的距离：
两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2
2
21B
A C C d +-=
．
8．直线系方程：
（1）平行直线系方程：
① 直线
y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．
． ￥
② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．
③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．
（2）垂直直线系方程：
① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．
② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．
（3）定点直线系方程：
① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数． ② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为
00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．
（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++
C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方程为
0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．
9．曲线1:
(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{
(,)0(,)0
f x y
g x y ==的解．
|
二．圆部分
10．圆的方程：
（1）圆的标准方程：222
)()(r b y a x =-+-（0>r ）．
（2）圆的一般方程：)04(02
222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．
（3）圆的直径式方程：
若
),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42
122-+=． （2）一般方程的特点：
①
2x 和2y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D
（3）二元二次方程02
2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：
—
① 0≠=C A ； ②
0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．
11．圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，
则：“半弦长2
+弦心距2
=半径2
”——222
)2
(
r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则
||1
1||1||2
2B A B A y y k x x k AB -+
=-+= （其中|||,|
2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）
12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔
．
②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．
