定积分的应用-定积分的几何应用(3)--平面曲线的弧长

π
= 2 ∫ 4 sec t (sec2 t 1) d t
0
π
0
= 2 ∫ 4 sec3 t d t + ∫ 4 sec t d t
0 0
π
π
π
4 = 2 ∫ 4 sec3 t d t + ln(sec t + tan t ) 0 0
π
∴
∫
4 sec 3 t d t 0
π
2 ln( 2 + 1) = . 2 2
的圆台的侧面积
xx + d x b
x
ΔA = π [ y + ( y + d y )]d s
= 2π y d s + π d y d s = 2π y d s + π y ′ d x 1 + y ′ 2 d x = 2π y d s + o(d x )
y
y = f (x)
可以证明：侧面积元素恰为 o a a d S = 2π y d s = 2π f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x 积分后得旋转体的侧面积
a θ + a dθ = a ∫
2 2 2
2π
0
0
θ 2 + 1 dθ
1 + 4 π2 ) .
a = 2 π 1 + 4 π 2 + ln( 2 π + 2
[
]
例6(综合题) 已知曲边三角形由抛物 线 y 2 = 2 x及直线
x = 0, y = 1所围成，求 (1 ) 曲边三角形的面积； ( 2 ) 曲边三角形绕 y = 1 旋转所成旋转体的体积 ； ( 3 ) 曲边三角形的周长 .
例4 求连续曲线段 y = ∫ π cos t d t 的弧长. 2 y π 解 Q cos t ≥ 0, t ∈ [ , x ] π 2 π 2 ∴ x= , π o 2 2 dy 又 Q y′ = = cos x dx
s=∫ =
π 2 π 2 π 2 2 0
x
x
1 + y′ 2 d x = 2 ∫
x = x L的参数方程： y = f ( x ) (a ≤ x ≤ b)
弧长元素(弧微分) :
ds = (d x )2 + (d y )2 = 1 + y′ 2 d x
弧长:
s=∫
b a
y
1 + y′ 2 d x ′2 ( x ) d x. 1+ f
(a ≤ b)
ds
dx
L
dy
=∫
b
a
o
a x x+dx b x
因此所求弧长
s=∫
β α
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ
(α ≤ β )
★ (二) 旋转体的侧面积 设平面光滑曲线
y = f ( x ) ∈ C [a , b ] ,
且 f ( x ) ≥ 0 , 求它绕 x 轴
1
y
y = f (x)
旋转一周所得到的旋转曲 o a a 面的侧面积 . 位于 [ x , x + d x ] 上
S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ) d x
a b
xx + d x b
x
注
侧面积元素 d S = 2π y ds ≠ 2π y d x
y
o a a
y = f (x)
因为 2π y d x 不是薄片侧面积
△S 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程
x = (t ) (α ≤ t ≤ β ) y = ψ (t )
下垂成悬链线. 悬链线方程为 x y = c ch ( b ≤ x ≤ b) c 求这一段弧长 .
2. 计算曲线 y = ∫
x nn 0
sin θ dθ 的弧长 (0 ≤ x ≤ nπ ).
θ 3 3. 求极坐标系下曲线 r = a(sin ) 的长. 其中 a > 0， 3
0 ≤ θ ≤ 3π .
xx + d x b
ds
x
o
y y + dy x x+dx x
给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为 S = 2πψ ( t ) ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t ∫α
β
二、典型例题
x = a ( t sin t ) (a > 0) 一拱 例1 计算摆线 y = a (1 cos t ) y (0 ≤ t ≤ 2 π) 的弧长 .
4. 证明： 正弦线 y = a sin x ( 0 ≤ x ≤ 2π ) 的弧长
x = cos t 等于椭圆 y = 1 + a 2 sin t
5. 试用定积分求圆
( 0 ≤ t ≤ 2π ) 的周长.
x 2 + ( y b )2 = R 2 ( R < b )
绕 x 轴 旋转而成的环体的表面积 S .
2 2
d s = [ x′(θ )]2 + [ y′(θ )]2 dθ
x = ρ (θ ) cosθ y = ρ (θ ) sinθ
= [ρ′(θ )cosθ ρ(θ )sinθ ]2 + [ρ′(θ )sinθ + ρ(θ )cosθ ]2 dθ
= ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ ,
1 从而周长： s = s1 + 1 + 2
3 + 2 ln( 2 + 1) = . 2 2
例7 计算圆 x + y = R 上 x ∈ [ x1 , x2 ] [ R , R]的一 段弧绕x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解 对曲线弧
y = R 2 x 2 , x ∈ [ x1 , x2 ]
M n 1
B = Mn
A = M0
x
可以证明：
曲线上每一点均有切 定理 光滑曲线弧必可求长. 线，且切线随切点的 移动而连续转动.
2. 弧长的计算公式
(1) 参数方程情形 曲线弧由参数方程给出:
x = (t ) (α ≤ t ≤ β ) y = ψ (t )
y
Δs
B
A
o
x
其中 ( t ), ψ ( t )在[α , β ]上具有连续导数 .
1 y2
1
y
y2 = 2 x
解 (1) A = ∫
0
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy
O x
1 3 1 = y = . 6 0 6
(2) V = π ∫
=π∫
1 2 (1 2 0
1 2 (1 0
2x) d x
2
y
1
1 2x
y2 = 2 x
2 x + 2 x)d x =
π
12
.
O
x
1 2
x
dx = y, (3) x′ = dy
Δx
Δy
B
Δy = ψ ( t + Δt ) ψ ( t ) ≈ d y = ψ ′( t ) d t ∴ Δ s ≈ (Δ x ) + (Δ y )
≈ (d x ) + (d y )
2 2 2
A
o
x
x + Δx
x
2
可以证明：弧长元素(弧微分)
ds = (dx )2 + (d y )2
y
ds
R
2
2
2
2
y
S = 2π ∫
= 2π ∫
x2 x1 x2
R x 1+ 2 dx R x2
2 2
x
x1 o
x2 R x
y o x
z
x1
R d x = 2π R( x x ) 2 1
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
S = 4π R 2
三、同步练习
1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,
2. 计算曲线 y = ∫
解
x nn 0
sin θ dθ 的弧长 (0 ≤ x ≤ n π).
x x 1 y′ = n sin = sin , n n n
s=∫
b
a
1 + y′ d x = ∫
2
nπ
0
x 1 + sin d x n
x = nt
π
∫0
π
1 + sin t n d t
t 2 t 2 t t = n ∫ (sin ) + (cos ) + 2 sin cos d t 0 2 2 2 2 π t t = n ∫ (sin + cos ) d t = 4n. 0 2 2
0
π
o
x
例3 计算曲线 y =
1 x2,
3 的一段弧的长度.
3 2 2 x
上相应于 x 从 a 到 b
y
解 Q y′ =
∴ ds =
1 2 )2 d x 1+ (x
= 1 + x d x,
o
a
b
x
所求弧长为
s=∫
b a
3 3 2 1 + x d x = [(1 + b) 2 (1 + a ) 2 ]. 3
四、同步练习解答
1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, x 1 x 下垂成悬链线. 悬链线方程为 ( c ch )′= c sh c c c x y = c ch ( b ≤ x ≤ b) c 求这一段弧长 . y c 2 2 x ′ d x = 1 + sh d x 解 ds = 1 + y c x = ch d x b o b x c b b x x = 2c sh b ∴ s = 2 ∫ ch d x = 2c sh 0 c c c 0
y
M1
M i 1 M i
M n 1
B = Mn
A = M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分 点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一
一点时，此折线的长
∑ | M i 1 M i |的极限存在，
⌒的 则称此极限为曲线弧 AB ⌒ 弧长，且称弧 AB 是可求
长的.
o
i =1
n
y
M1
M i 1 M i
取参数 t 为积分变量， 则 t ∈ [α，β ].
[t , t + d t ] [α , β ]，
对应该小区间的弧段的长度 Δs，有
Δs ≈ ( Δ x )2 + ( Δ y )2
Q 当 Δt 很小时，
y
Δx = ( t + Δt ) ( t )
≈ d x = ′( t ) d t
Δs
2 d s1 = 1 + x′ 2 d y = 1 + y d y
s1 = ∫
1
0
1 + y2 d y
y = tan t
∫
π
4 0
sec t sec t d t
2
2
Q
∫
4 sec 3 t d t 0
π
= ∫ 4 sec t d(tan t )
π
0
π
4 = sec t tan t 0 ∫ 4 sec t tan 2 t d t
π 2 0
1 + ( cos x )2 d x
∫
x 2 cos d x = 2 2 2 sin x 2 2
[
]
π 2 0
=4
例5 求阿基米德螺线 ρ = aθ ( a > 0) 上相应于θ
从 0 到 2π 的弧长.
解 Q ρ ′ = a,
∴ s=∫ =∫
β α
2π
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ
dx
L
dy
= ′2 (t ) + ψ ′2 (t ) d t
o
a x x+dx b x
因此所求弧长
s=∫
β α
′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t (α ≤ β )
(2) 直角坐标情形 设曲线弧 L由直角坐标方程给出:
y = f ( x ) (a ≤ x ≤ b)
其中 f ( x )在[a , b]上有一阶连续导数.
(3) 极坐标情形 曲线弧由极坐标方程给出: ρ = ρ (θ ) (α ≤ θ ≤ β )
其中 (θ ) 在[α , β ]上具有连续导数.
x = ρ (θ ) cosθ Q y = ρ (θ ) sin θ
(α ≤ θ ≤ β )
弧长元素(弧微分) :
′(θ )]2 + [ y′(θ )]2 dθ ∴ d s = (d x) + (d y) = [ x
θ 3. 求极坐标系下曲线 r = a(sin ) 3 的长. 3 (a > 0) (0 ≤ θ ≤ 3 π)
解
Q ρ ′ = 3a (sin ) cos = a(sin ) cos , 3 3 3 3 3
β α
3π
θ
2
θ 1
θ
2
θ
∴ s=∫
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) dθ
a 2 (sin )6 + a 2 (sin )4 (cos )2 dθ 3 3 3
例2 求星形线 x + y = a ( a > 0) 的全长.
2 3
2 3
2 3
x = a cos 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 解 星形线的参数方程为 y = a sin 3 t
根据对称性 第一象限部分的弧长
π
0
y
s = 4s1= 4∫ 2 ( x′)2 + ( y′)2 d t
= 4 ∫ 2 3a sin t cos t d t = 6a .
第六章
第二节 定积分的几何应用(3)
—— 平面曲线的弧长
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一)、平面曲线的弧长 1. 平面曲线弧长的概念 定义. 定义.设 A 、 B 是曲线弧 上的两个端点，在 弧上插入分点: A = M 0 , M 1 ,L M i ,
L , M n 1 , M n = B
dx 2 dy 2 解 ds = ( ) + ( ) d t dt dt
o
2 πa x
= a 2 (1 cos t )2 + a 2 sin 2 t d t t = a 2(1 cos t ) d t = 2a sin dt 2 2π t t 2π ∴ s = ∫ 2a sin d t = 2a 2 cos 0 2 2 0 = 8a