西安交通大学数理统计研究生考试
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西安交通大学数理统计研究生考试
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2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1,设总体X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2
(0,3)N ,而129(,,)X X X L 和
129(,,)Y Y Y L 是分别来自X 和Y 的样本,则19221
9
X X U Y Y
++=
++L L 服从的分布是_______ .
解:(9)t .
2,设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计,且1ˆθ比2ˆθ有效,则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .
解:1212
ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<. 3,“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.
解:秩和检验、游程总数检验.
4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解:正态性、方差齐性、独立性.
5,多元线性回归模型=+Y βX ε中,β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解:1ˆ-''X Y β=
()X X . 二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1,设12(,,,)(2)n X X X n ≥L 为来自总体(0,1)N 的一个样本,X 为样本均值,2
S 为
样本方差,则____D___ .
(A )(0,1)nX N :; (B )2
2
()nS n χ:;
(C )(1)()n X t n S
-:; (D )2
12
2
(1)(1,1)n i i n X F n X =--∑:. 2,若总体2
(,)X N μσ:,其中2
σ已知,当置信度1α-保持不变时,如果样本容量
n 增大,则μ的置信区间____B___ .
(A )长度变大; (B )长度变小; (C )长度不变; (D )前述都有可能.
3,在假设检验中,分别用α,β表示犯第一类错误和第二类错误的概率,则当样本容量n 一定时,下列说法中正确的是____C___ .
(A )α减小时β也减小; (B )α增大时β也增大;
(C ),αβ其中一个减小,另一个会增大; (D )(A )和(B )同时成立. 4,对于单因素试验方差分析的数学模型,设T S 为总离差平方和,e S 为误差平方和,A
S 为效应平方和,则总有___A___ .
(A )T e A S S S =+; (B )22
(1)A
S r χσ
-:;
(C )
/(1)
(1,)/()
A e S r F r n r S n r ----:; (D )A S 与e S 相互独立.
5,在一元回归分析中,判定系数定义为2T
S R S =
回
,则___B____ . (A )2R 接近0时回归效果显著; (B )2R 接近1时回归效果显著; (C )2R 接近∞时回归效果显著; (D )前述都不对.
三、(本题10分)设总体21(,)X N μσ:、22(,)Y N μσ:,112(,,,)n X X X L 和212(,,,)n Y Y Y L 分别是来自X 和Y 的样本,且两个样本相互独立,X Y 、和22X Y S S 、分别是
它们的样本均值和样本方差,证明
12
121211
()()
(2)n n X Y t n n S ωμμ---+-+:,
其中22
2
1212(1)(1)2
X Y
n S n S S n n ω-+-=+-.
证明:易知
2
2
121
2
(,
)X Y N n n σσμμ--+
:, 1212
()()
(0,1)11X Y U N n n μμσ---=
+
:.
由定理可知
2
2
112
(1)(1)X
n S n χσ
--:,
2
2222
(1)(1)Y
n S n χσ
--:.
由独立性和2
χ分布的可加性可得
2
2
212122
2
(1)(1)(2)X
Y
n S n S V n n χσσ--=
+
+-:.
由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得
1
2121211
12()()(2)/(2)n n X Y U
t n n V n n S ωμμ---=+-+-+:.
四、(本题10分)已知总体X 的概率密度函数为1, 0
(),0, x
e x
f x θ
θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其它其中未知参
数0θ>, 12(,,,)n X X X L 为取自总体的一个样本,求θ的矩估计量,并证明该估计量是无偏估计量.
解:(1)()10
1
()x
v E X xf x dx xe dx θ
θθ
-
∞
∞
-∞
====⎰
⎰
,用111n i i v X X n ===∑$代替,所以
∑===
n
i i
X X
n
1
1
ˆθ.
(2)1
1ˆ()()()()n
i i E E X E X E X n θθ=====∑,所以该估计量是无偏估计. 五、(本题10分)设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ
θθ=+<<,其中未知参数1θ>-,12(,,)n X X X L 是来自总体X 的一个样本,试求参数θ的极大似然估计.
解:
1 (1)() , 01
() 0 , n
n i i i x x L θ
θθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它
当01i x <<时,1
ln ()ln(1)ln n
i i L n x θθθ==++∑,令
1ln ()ln 01n
i i d L n
x d θθθ==+=+∑,得
1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ
==--∑.
六、(本题10分)设总体X 的密度函数为e ,>0;
(;)0,
0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩ 未知参数0λ>,
12(,,)n X X X L 为总体的一个样本,证明X 是
1
λ
的一个UMVUE . 证明:由指数分布的总体满足正则条件可得