选修2-2第三章复数测试题
时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
1．i 为虚数单位，⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－i 1＋i 2＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 2．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z 等于( )
A ．－3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
3．若复数z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．－2或2 4.如右图，在复平面内，向量OP
→对应的复数是1－i ，将OP →向左平移一个单位后得到O 0P 0→，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
6．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．i D ．2i
7.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，
则z ＝( )
A ．1＋i
B ．－1－i
C ．－1＋i
D ．1－i
8．满足条件|z －1|＝|5＋12i|的复数z 在复平面上对应Z 点的轨迹是( )
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．圆
D ．椭圆
9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a c
b d ＝ad －b
c ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复
数z 为( )
A ．3－i
B ．1＋3i
C ．3＋i
D ．1－3i 10．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝a ＋(a ＋3)i ，且z 1z 2>0，则实数a 的值为( )
A ．0
B ．0或－5
C ．－5
D ．以上均不对 11．复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 12．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)等于( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分) 13．复数i 2(1＋i)的实部是__________．
14．复数z ＝2＋i
1＋i (i 为虚数单位)，则z 对应的点在第________象限．
15．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i
1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为
________．
16．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋，i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数ω＝u ＋3i(u ∈R)满足|ω－z |<25，则u 的取值范围为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18．(12分)计算：
(1)(2＋i )(1－i )21－2i ； (2)4＋5i (5－4i )(1－i )
.
19.(12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i
，ω＝z ＋a i(a ∈R)，当⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
ωz ≤2时，求a 的取值范围． 20．(12分)在复平面内，复数z 1在连结1＋i 和1－i 的线段上移动，设复数z 2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z 1＋z 2在复平面上移动范围的面积．
21.(12分)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ·z ＋(1－2i)·z ＋(1＋2i)·z ≤3，求|z |的最大值和最小值．
22.(12分)关于x 的方程x 2－(1＋3i)x ＋(2i －m )＝0(m ∈R)有纯虚根x 1.
(1)求x 1和m 的值；
(2)利用根与系数的关系猜想方程的另一个根x 2，并给予证明； (3)设x 1，x 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，求|AB |.
答案
1．A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 1＋i 2＝(1－i )2(1＋i )2＝－2i 2i ＝－1，故选A. 2．A z 2－2z ＝z (z －2) ＝(1＋2i)(2i －1) ＝－2－1＝－3.
3．A ∵z ＝(x 2－4)＋(x －2)i 为纯虚数， ∴{ x 2－4＝0，x －2≠0，⇒x ＝－2.
4．D 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道OP 0→，而OP 0→＝OO 0
→＋O 0P 0→，从而可求P 0对应的复数．
∵O 0P 0→＝OP →，OO 0→对应的复数是－1，
∴P 0对应的复数即OP 0
→对应的复数是－1＋(1－i)＝－i. 5．D 由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1.所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.
6．B ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i. ∴z ·z ＝|z |2＝2.
∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.
7．D 设z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝2，得2a ＝2，即a ＝1； 又由(z －z )i ＝2，得2b i·i ＝2，即b ＝－1. 故z ＝1－i.
8．C 本题中|z －1|表示点Z 到点(1,0)的距离，|5＋12i|表示复数5＋12i 的模长，所以|z －1|＝13，表示以(1,0)为圆心，13为半径的圆．注
