完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型

一．公式拓展：

拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+

2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a

a a a 拓展二：a

b b a b a 4)()(22=--+ ()()22

2222a b a b a b ++-=+

ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-

拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++

拓展四：杨辉三角形

3223333)(b ab b a a b a +++=+

4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+

拓展五： 立方和与立方差

))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-

二．常见题型：

（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2

2

2。

(1)1=+y x ，则222

121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2

222)()1(则=

(二）公式变形

(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=

(2)若()()x y x y a

-=++22，则a 为 (3)如果2

2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于

(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于

(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是

（三）“知二求一”

1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．

2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．

（1）求xy 的值；

（2）求x 2+3xy+y 2的值．

3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：

（1）x 2+y 2

（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．

4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：

（1）（a+b ）2

（2）a 2﹣6ab+b 2的值．

（四）整体代入

例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a=

201x ＋20，b=201x ＋19，c=20

1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值

⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b

a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．

（五）杨辉三角

请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b ）6=

．

（六）首尾互倒

1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+

= ． 2．阅读下列解答过程：

已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：

的值． 解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0

∴

，即． ∴==32+2=11．

请通过阅读以上内容，解答下列问题：

已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，

求：（1）

的值；（2）的值．

（七）数形结合

1．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．

（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？

（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；

（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．

（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．

2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．

（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．

（八）规律探求

15．有一系列等式：

1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…

（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果

（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．