初二数学奥数
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD
＝1，BC＝3，DC DCF的形状；
(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；
（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.
3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．
正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；
（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．
P
D
C
B
A
N
M
图1
图2
4、如图1和2，在20×20的等距网
格（每格的宽和高均是1个单位长）
中，Rt△ABC从点A与点M重合的位
置开始，以每秒1个单位长的速度先
向下平移，当BC边与网的底部重合
时，继续同样的速度向右平移，当
点C与点P重合时，Rt△ABC停止
移动.设运动时间为x秒，△QAC的
面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC 于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE ∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。
7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF 的长度，你发现了什么？试说明理由。
1、解：（1）证明：∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ， ∵EF ∥AB ， ∴∠B=∠EFC ， ∴∠B=∠ECF ，∴梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）△DCF 是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC ，EF=EC ，∴EF=
2
1
CD ， ∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD 是等腰梯形， ∴CF= 2
1
（BC-AD ）=1， ∵DC= 2， ∴由勾股定理得：DF=1， ∴△DCF 是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2
2、证明：（1）①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠1=∠2． 又∵AN=AN ， ∴△ABN ≌△ADN ．
②解：作MH ⊥DA 交DA 的延长线于点H ． 由AD ∥BC ，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt △AMH 中，MH=AM •sin60°=4×sin60°=2 3． ∴点M 到AD 的距离为2 3． ∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD 是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA ，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M 恰好与点B 重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA ，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M 恰好与点C 重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD ∥BC ， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN ． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6． 故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN 是等腰三角形。 3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP ，且△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得． 理由如下：在△ABP1和△ADP 中， 由题意：AB=AD ，AP=AP 1，∠PAD=∠P 1AB ， ∴△ABP1≌△ADP ，
又∵△ABP 1和△ADP 有公共顶点A ，且∠PAP 1=90°， ∴△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得；
