各类函数求导法

§2.2 各类函数导数的求法

一、复合函数的微分法

设有函数)(u f y =，)(x g u =，且)(x g 在点x 可导，)(u f 在相应的点u 处可导，则复合函数))((x g f y =在点x 可导，且

)()()))(((x g u f x g f ''=' 或写为 dx

du

du dy dx dy ⋅

=。 x u y →→ 此求导法则称为连式法则，可推广到多个函数的情况。 【注意】

此结论反过来不成立。

例如：①2)(u u f y ==，||)(x x u ==ϕ，则在0=x 处，2)]([x x f y ==ϕ可导，但

2)(u u f y ==可导，||)(x x u ==ϕ不可导。

②||)(u u u f y -==，||)(x x x u +==ϕ，则在0=x 处，0)]([==x f y ϕ可导，但||)(u u u f y -==，||)(x x x u +==ϕ都不可导。 例2.1 若

x

x f dx d 1

)]([4=，则=)('x f 。 解：由复合函数的求导法则得：

x x f x

x f x x x f x f dx d 41

)('41)('14)(')]([44344=

⇒=⇒=⋅=。 例2.2 若x t

x x t t f )

21(lim )(0

+

=→，则=)('t f 。

解：先求出)(t f 的具体表达式，再求导。t t

x

x te x t t f 2221

)21(lim )(=+

=⋅→

则 t t t e t te e t f 222)12(2)('+=+=。

例2.3 设⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=2323x x f y ，2

arcsin )('x x f =，求

=x dx dy 。

解：22

'

)23(122323arcsin 23232323'2323+⋅⎪⎭⎫

⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x x x f x x f dx d dx dy π2

3

3)1(arcsin 0

=⋅==x dx dy 。 二、参数方程的微分法

设)(t x ，)(t y 均为二阶导数，且0)('≠t x ，求由参数方程⎩

⎨⎧==)()

(t y y t x x

所确定的函数)(x y y =的一、二阶导数

)

(')('t x t y dt dx dt dy dx dy ==； ⎪⎩⎪⎨⎧==

)

()(')

('t x x t x t y dx dy 3

22)]('[)('')(')('')('))(')('())(')('()'(t x t x t y t y t x dx dt t x t y dt d t x t y dx d y dx d dx y d -=⋅=== 例2.4设⎩⎨⎧-=+=t

t y t x arctan )1ln(2，求33dx y

d 。

解：2t

dx dy =，t t dx y d 41222+=

，3

43381t t dx y d -=。 例2.5设⎪⎩

⎪⎨⎧-==⎰

udu

u t t y t x t cos 21)cos()cos(2

12

2，0>t ，求dx dy ，22

dx y d 解：)sin(2'2t t x -=，222222sin 22cos 21

sin 2)cos('t t t t t

t t t y -=⋅--=

t dx dy =； 2

22

sin 21

)(')'(t

t t x y dt d dx y d -==。 例2.6 设⎩

⎨⎧+=+=||45||22

t t t y t t x ，求0=t dx dy

。 解：当0>t ，⎩⎨⎧==293t y t x ，当0

⎨⎧==2t y t

x 。 0)(3)(9lim lim )

0(200'=∆∆=∆∆=++→∆→∆+t t x y f x x ；0)(lim lim )0(200'

=∆∆=∆∆=--→∆→∆-t t x y f x x 故 00==t dx

dy

。

三、隐函数的微分法

由二元方程0),(=y x F 所确定的函数)(x f y =称为y 是变量x 的隐函数，其导数

dx

dy

可按如下方法求出： 牢记y 是变量x 的函数，方程两边按复合函数求导的连式法则，对x 求导。

注意：如

y

1

，2y ，y ln ，y e 都是x 的复合函数。 例2.7 设函数)(x f y =是由方程063sin 33=+-+y x y x 确定，求0

=x dy 。

解：先求)('x f ，再求0

=x dy 。

方程两边对x 求导得：

0'63cos 3'332

2

=+-+y x y y x ，23cos '22

+-=

y x x y dx y x x dy 2

3cos 2

2

+-=，dx dy x 2

1

=

=。 例2.8 设函数)(x f y =是由⎩⎨⎧=+-++=0

1sin 3232y t e t t x y 所确定，求022=t dx y

d 。

解：由3232

++=t t x 得26+=t dt

dx ，由01sin =+-y t e y 得y t e dt dy y -=2cos ，所以e dt

dy

t ==0

，10

==t y

。从而 )

26)(2(cos +-=t y t

e dx dy y ，

3222)26()2()26()2(6cos )26)(2(sin cos +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t dt dy y t e t y t e dt dy t e dt dx dx dy dt d dx y d y

y y

故 4322022e

e dx

y d t -==。

四、幂指函数微分法

)()(x v x u y =，1)(,0)(≠>x u x u

方法1：利用等式a b b e a ln =化)()(x v x u y =

)(ln )(x u x v e y =

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=)()(')()(ln )('')(ln )(x u x u x v x u x v e y x u x v =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅+=)()(')()(ln )(')(')(x u x u x v x u x v x u y x v

方法2：取对数求导法：

两边取对数化为隐函数：)(ln )(ln x u x v y =，然后利用隐函数的求导方法求导数。

例2.9 设函数)(x f y =是由方程x y y x =确定，求dx

dy

。

解：y

x x y e e ln ln =，两边同时对对x 求导，得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+y y x y e x y x y e y x x y 'ln 1ln 'ln ln )

ln ()

ln (x y x x y x y y dx dy --=。