浅议数学中的形象思维
摘要：数学是思维的体操，是思维的工具，甚至可以说数学的教学就是数学思维活动的教学。指出形象思维与抽象思维是科学研究中不可缺少的思维手段，我们以前对抽象思维研究较多，而对形象思维则缺少认识，以致用电子计算机处理各种理论问题时势如破竹，而用它来处理图像领域中的大量问题时却步履艰难。
关键词：数学思维；形象抽象；教学概念
中图分类号：g632.0 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）25-0174-02
数学是思维的体操，是思维的工具，甚至可以说数学的教学就是数学思维活动的教学。
我国著名科学家钱学森的许多文章和讲话对于建立思维科学问
题提出了许多有长远战略意义的宝贵意见。指出形象思维与抽象思维是科学研究中不可缺少的思维手段，我们以前对抽象思维研究较多，而对形象思维则缺少认识，以致用电子计算机处理各种理论问题时势如破竹，而用它来处理图像领域中的大量问题时却步履艰难。他还指出，形象思维应是思维科学中三大基础科学之一，必须给以足够的重视。钱学森同志的这些倡导无疑对我国科学技术教育的发展有深远的意义。笔者结合中学数学教育的实践就形象思维的若干问题做一些初步探索分析，以引起人们对思维科学特别是数学思维的关注与思索。
一、数学的特点与学生的实际
数学知识是抽象思维的典型产物，这是中外任何一部数学专著都要论述到的。这既是数学这门科学的特点也是它的优点。这个优点也就决定了数学应用的广泛性，数学在中学阶段是一门十分重要的基础课，因此老师们下很大功夫改进教学方法千方百计提高数学教学的质量。数学本身抽象的特点客观上给数学的教与学都带来了一定的困难。有的学生越学越感到乏味枯燥成绩上不去，包袱很重。当然学生学习中的困难并非完全由于数学本身的特点造成，原因是多方面的：诸如学生的年龄、气质、心理上的差异，知识与经验的不同。思维发展的内在因素的倾向性，教材教法等因素都密切关系到数学教学质量的高低。教学中有意识地培养训练学生的抽象思维无疑是正确的、必须的，但不能形成数学对抽象思维的完全依赖。即便是数学的抽象思维过程也并非与形象思维形成对立而割裂开来，否则教学就要脱离学生的思维实际，难以实现良好的愿望。事实上学生在思维方式这方面存在着三种情况；一部分人在处理数学问题时倾向于抽象思维，另一部分人倾向于形象思维，还有二者皆有的。就形象型的思维特点而言，苏联著名心理学家克鲁切茨基指出“这个类型的代表人物的思维特点是有发展的非常好的视觉形象成份，而且我们可以暂时说，它比已经发展良好的语言逻辑成份还占优势。这些学生感觉有这样的需要.即形象地解释抽象的数量关系，而且在这方面，表现出巨大的创造性；在这个意义上，相对地说，对于他们来讲，图形表示经常取代逻辑。”这个类型的学生的弱点是当他们用形象的模式或图形去解答问题未获成功时，便犹豫
迷惑，表现出抽象思维能力的贫乏，这也是在实际中常见到的。我们的教学如果能使这两种基本类型的人在各自已经具备的特点或者说优势的基础上克服自已的弱点弥补自已的不足，使抽象思维与形象思维相互渗透，紧密配合得以健全发展，我想这样定会增添学生学习的兴趣，提高数学教学的质量。数学自身的抽象特点再加上从抽象来到抽象去的传统教学方式不仅会使相当多的人对数学产生畏难情绪，而且也达不到培养和形成学生健全的、辩证的抽象思维能力特别是创造性的思维能力。数学中的形象思维研究现在不仅仅是开始，许多理论与实践的问题还呈空白状态。笔者认为.数学形象思维问题的研究不仅是数学自身发展的必然，也是数学教学改革提高教学质量的需要，也是深入调动师生积极性、充分发挥大脑两半球功能开发智力的需要。
二、数学中的形象思维
大家知道数学中的抽象思维是根据数学问题所提供的直接、间接信息，运用有关数学概念进行判断、推理、论证以直接揭示其问题规律的思维状态，其特点主要取演绎法，纵向联系，思路单纯有程序，人们把它称为“线性思维”。而数学中的形象思维则是着眼于数学问题的感性整体结构，通过丰富而合情的联想产生关联的数学反映模式或图形，间接反映其问题本质规律的思维状态，其特点主要取综合法，纵横联系，思路宽阔而灵活，人们把它称为“平面思维”。
实际中，任何思维过程既没有纯而又纯的形象思维也没有纯而又
纯的抽象思维。数学中的任何一个抽象概念都是离不开形象的。就拿函数概念的形成和发展来看便是如此。现在公认最早的函数定义是由法国数学家莱布尼兹给出的。他在1673年的一篇数学手稿里，将任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、次切线的长度等都称为函数，并强调这条曲线是由一个方程式给出的。这是函数定义的最早几何起源。在以后漫长曲折的发展中函数概念的完善都未离开实践特别是物理模型的支持，如此经历了多次扩张才有函数定义的现代化处理方法，而将函数概念建立在集合概念的逻辑基础上，用“对应”或“映射”来定义函数。到此人们对函数概念的认识也未停止。在本世纪，科学家们又通过对新的微观物理现象的研究，创立了一门崭新的学科——量子力学。在其研究中根据实际的需要使用了一个与原函数定义不同的前所未见的函数，叫做狄拉克-8函数。新问题的出现必然导致对它的探求和解决。后来由苏联数学家索别列夫和法国数学家施瓦兹引入了广义函数
的概念，把函数、测度及狄拉克-8函数等概念统一起来，从而创立了广义函数论，在许多现代数学分支上得到应用，使人们对函数概念的认识再一次获得升华。
由此可以看到一个数学理论乃至一个抽象的数学概念的形成决
非数学家头脑中凭空随意创造，而是社会实践在人们头脑中逐步反映的结果。在其形成过程中，直接间接地都离不开几何的或物理的模型的支持。
数学概念、数学命题或数学推理论证中的数学形象是什么？有的
人把数学中的形象简单理解为看图识字般的视觉表象，这是片面的；实际上它是通过抽象加工创造出的典型形象或概括形象，我们称它为理想形象。就某一个数学问题而言，可能产生的理想形象是不唯一的。关于它的产生及其规律性正是需要更多的人参与实践共同探讨的问题。我们不能等到有朝一日在这方面全面而系统的理论产生之后再去运用这些理论进行形象思维的教学，应该是边实践边总结过研究。我们所创造的形象不见得是理想形象，还可能有一定的模糊性，但通过逐步修正提炼总可以达到理想的目的。
