四年级几何几何计数教师版

知识要点

几何计数

图形计数 1、图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。 2、图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。 3、图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。 4、图形计数基本公式：

①一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为： ()

1122

n n n ++++=

L L 条。 ②两条共端点的射线确定一个角（大于0︒、小于180︒）

，假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒、小于180︒）的个数为(1)

2n n -条。

③网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。

④一般的，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（n ≥m ，每小格均为相等的正方形）

，那么这个长方形中正方形的总数为：()()()()()112211mn n m n m n m +--+--++-+⨯L L 。 四、五、六年级

（三、四、五、六年级）

（四、五年级）

图形剪拼（一、二年级）（一、二年级）几何求值组合问题数学计算图形变幻认识图形平面几何图形计数

图形规律

数线段

【例 1】 数一数：图中线段的总条数。

F

E

D

C

B

A

【分析】（方法一）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，

由1个基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条； 由2个基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条； 由3个基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条； 由4个基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条； 由5个基本线段构成的线段有：AF 1条； 总数5432115++++=条。

（方法二）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），

以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条； 以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条； 以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条； 以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条； 以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条； 总数5432115++++=条。

数量变化规律

图形组合规律

图形规律

数正方形

数长方形

数三角形

数线段

图形计数

【例 2】 如图，线段AB 、BC 、CD 、DE 的长度都是3厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段

的长度之和是多少厘米？

3厘米

3厘米

3厘米

3厘米

【分析】长3厘米的线段有4条；长6厘米的线段有3条；长9厘米的线段有2条；长12厘米的线段有1条；

图中一共有432110+++=条线段。

这些线段的长度之和是34639212160⨯+⨯+⨯+⨯=厘米。

【例 3】 数一数，图中有多少条线段？

【分析】横着的线段有()112318++++=条；

斜着的线段有()()122123218+⨯+++⨯=条； 图中有81826+=条线段。

【例 4】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛四年级第11题）在图所示的线段中，至少包

含“☆”和“△”中的一个的线段有_______条。

△

☆

【分析】包含“☆”的线段有2612⨯=条；包含“△”的线段有5315⨯=条；

同时包含“☆”和“△”的线段有236⨯=条；

所以至少包含“☆”和“△”中的一个的线段有1215621+-=条。

数角

【例 5】 数一数，图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？

F E

D C B

A

O

O

A

B C D E

F

【分析】（方法一）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：

由1个基本角构成的角有：AOB ∠、BOC ∠、COD ∠、DOE ∠、EOF ∠共5个； 由2个基本角构成的角有：AOC ∠、BOD ∠、COE ∠、DOF ∠共4个；

由3个基本角构成的角有：AOD ∠、BOE ∠、COF ∠共3个； 由4个基本角构成的角有：AOE ∠、BOF ∠共2个； 由5个基本角构成的角有：AOF ∠共1个； 角总数5432115++++=个。

（方法二）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：

以OA 边为公共边的角有：AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠、AOF ∠共5个； 以OB 边为公共边的角有：BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠、BOF ∠共4个； 以OC 边为公共边的角有：COD ∠、COE ∠、COF ∠共3个； 以OD 边为公共边的角有：DOE ∠、DOF ∠共2个； 以OE 边为公共边的角有：EOF ∠只1个； 角总数5432115++++=个。

（方法三）在图中添加一条线，如图所示，此时以O 为顶点的三角形有多少个，就有多少个角， 所以角的个数为1234515++++=个。

【例 6】 在图中，所有角的和为150o ，且αβγ∠=∠=∠，求α∠的度数。

γ

βα

【分析】我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样分类数：

由1个基本角构成的角有：α∠、β∠、γ∠；

由2个基本角构成的角有：()αβ∠+∠、()βγ∠+∠； 由3个基本角构成的角有：()αβγ∠+∠+∠； 所有角的度数和应该等于10150α∠=o ，所以15α∠=o

数长方形

【例 7】 数一数，下面三个图中各有多少个长方形？

图3

图2

图1

D

C

B

A

A

B C

D

D

C

B A

【分析】先来看图1，AB 边上包含着的10条线段中的每一条，都可与线段AD 对应，

惟一确定一个长方形，所以图(1)中共有10110⨯=个长方形。