初中七年级下册平面几何证明之全等三角形之辅助线习题(含答案发))
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学霸数学
全等三角形之辅助线（导学案）
知识过关
1.为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成
辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立________ 和之间的桥梁
把问题转化成自己已经会解的情况．
辅助线的作用：
①__________________________________________ ；_
②__________________________________________ ．_
添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．
2.要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形；要证全等，需要找_
组条件．
精讲精练
1.已知：如图，AB=CD，AC与BD 相交于点O，且AC=BD．求证：∠ ABO=∠DCO．
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB=CD且AD=BC．
3. 已知：如图， AB=AE ，BC=ED ，∠B=∠E ，F 是 CD 的中点． 求证： AF ⊥CD ．
4. 已知：在 △ABC 中，∠ B=∠C ．求证： AB=AC ．
5. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D ，E 在 AC 上，∠ ABD=∠ CBE ，∠A=∠C ．求证： BD=BE ．
6. 已知：如图，在 △ABD
中， F ．求证： AF ⊥BD ．
7. 已知：如图， BD ，CE 是△ABC 的高，点 P 在BD 的延长线上， BP=AC ，点Q 在CE
上，CQ=AB ．判 断线段 AP 和 AQ
的数量和位置关系，并加以证明．
E
延长 AE 交 BD
A
D
E
Q
【参考答案】知识过关
1. 虚线已知；未知
① 把分散的条件转为集中；
② 把复杂的图形转化为基本图形．
2. 全等； 3
? 精讲精练
1. 证明：如图，连接AD
在△ ABD和△ DCA中
AB DC（已知）
BD CA（已知）
AD DA（公共边）∴△ABD≌△DCA
（SSS）∴∠ABO=∠DCO（全等三角形
对应角相等）
2. 证明：如图，连接AC
∵AB∥CD ∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA 在△ABC和△CDA中
CAB ACD（已证）
AC CA（公共边）
BCA DAC（已证）
∴△ ABC≌△ CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边
相等）
3.证明：如图，连接AC，AD
在△ABC和△AED中，
AB AE（已知）
B E（已知）
BC ED（已知）
∴△ ABC≌△ AED（SAS）
∴AC=AD（全等三角形对应边相等）
∵F是CD的中点
∴CF=DF 在△ACF和△ADF中，
AC AD（已证）
AF AF（公共边）
CF DF（已证）
∴△ ACF≌△ ADF（SSS）
∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
4.证明：如图，过点A作AD⊥BC于点 D
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ ADB和△ ADC中，
B C（已知）
ADB ADC（已证）
AD AD（公共边）
∴△ADB≌△ADC（AAS）
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）
5.证明：如图，过点B作BF⊥AC于点 F
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中，
A C（已知）
BFA BFC（已证）
C BF BF（公共边）
∴△ ABF≌△ CBF（AAS）
∴AB=CB（全等三角形对应边相等）
学霸数学
在△ ABD和△ CBE中，
A
A C（已知）
AB CB（已证）
ABD CBE（已知）
∴△ABD≌△CBE（ASA）∴BD=BE（全等三角形对应边相等）
6.证明：如图，
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ ACE和Rt△BCD中
AE BD （已知）
CE CD （已知）
∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）∵∠ACE=90°∴∠CAE+∠AEC=90° ∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90° ∴∠BFE=90° ∴AF⊥BD
7.解：AP=AQ且AP⊥AQ，理由如下：P
如图，5 D ∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ BEQ=∠BDC=∠ADP=90°E 3 4
∴∠ 1+∠3=90° 1 Q2
∠2+∠4=90° B C
∵∠3=∠4
∴∠1=∠2 在△ABP和△QCA中
AB QC （已知）
1 2 （已证）
BP CA （已知）
∴△ ABP≌△ QCA（SAS）∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）∠P=∠5（全等三角形对应角相等）∵∠ADP=90°
∴∠P+∠PAD=90°
∴∠5+∠PAD=90°