基本不等式经典例题(学生用)

1 基本不等式

一、选择题

1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )

A．2 B．22 C．4 D．5

4．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的( )

A．充分条件不必要条件

B．必要条件不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要的条件

5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

A．3 B．4 C.92 D.112

二、填空题

6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．

7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．

8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．

三、解答题

9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．

10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 2

11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

基本不等式典型例题

1、两个不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈r)当且仅当a=b时，等号成立；

≤a+b(a>0,b>0)当且仅当a=b时，等号成立。2

2、常用变形：(

1)a+b≥a>0,b>0)

⎛a+b⎛(2)⎛≥ab(a,b∈r)⎛2⎛

2aba+b(

3)≤≤a>0,b>0)a+b2基准1、1.若实数满足用户a+b=2，谋3+3的最小值

xy2.若log4+log4=2，求ab211+的最小值xy

基准2、未知x＞0,y＞0，且

解：利用“1的代换”,∵19+=1，求x+y的最小值.xy1919y9x+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10++.∵x＞0,y＞0,xyxyxy

∴y9xy9xy9x+≥2=6.当且仅当=，即y=3x时，挑等号.∙xyxyxy

19+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.xy又

变式训练1.未知正数a,b,x,y满足用户a+b=10,ab+=1，x+y的最小值为18，谋a,b的值xy

2.已知x,y为正实数，且2x+y=1，则

基准3、未知0＜x＜

解：∵0＜x＜21+的最小值为xy1，求函数y=x(1-3x)的最大值;31,∴1-3x＞0.3

113x+(1-3x)211∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等332126

11号成立.∴x=时，函数取得最大值.612

1变式训练1.当x＞-1时，谋f(x)=x+的最小值.x+1

x4+3x2+33.求函数y=的最小值.x2+1

基准4、谋f(x)=3+lgx+4的最小值（0＜x＜1）lgx 4444＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2(-lgx)(-)=4.lgxlgxlgxlgx解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,

初二不等式经典例题

摘要：

1.初二不等式的概念和基本性质

2.经典例题 1：解不等式 |x - 3| < 1

3.经典例题 2：解不等式 -2x + 3 > 5

4.经典例题 3：解不等式组 { 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }

5.总结与展望

正文：

一、初二不等式的概念和基本性质

初二不等式是初中数学中的重要内容，主要研究如何解不等式以及如何处理不等式组。不等式是指用不等号（如"<"、"≤"、">"、"≥"）连接的两个数或代数式。在初二阶段，我们主要学习解一元一次不等式、一元二次不等式以及不等式组。

二、经典例题 1：解不等式 |x - 3| < 1

这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：

1.将绝对值符号拆掉，得到两个不等式：x - 3 < 1 和 -(x - 3) < 1。

2.分别解这两个不等式，得到 x < 4 和 x > 2。

3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 2 < x < 4}。

三、经典例题 2：解不等式 -2x + 3 > 5

这是一个一元一次不等式，我们可以通过以下步骤求解：

1.将常数项移到不等式左边，得到 -2x > 2。

2.将不等式两边同时除以 -2，并注意改变不等号方向，得到 x < -1。 四、经典例题 3：解不等式组 { 2x + 1 < 3, 4x - 5 > 6 }

这是一个一元一次不等式组，我们可以通过以下步骤求解：

1.解第一个不等式，得到 x < 1。

2.解第二个不等式，得到 x > 3.5。

3.将两个不等式的解集合并，得到最终解集：{x | 3.5 < x < 1}。

五、总结与展望

初二不等式是初中数学的基础知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学有着重要意义。通过解决不等式和不等式组，我们可以提高自己的逻辑思维能力和运算能力。

- 9 - 新高一基本不等式专题

【例1】已知,0xy，且21xy，求11xy的最小值.

【变式2】已知,0xy，且21xy，求1xxy的最小值.

【变式3】已知,0xy，且1xy，求4912xy的最小值.

【变式4】已知,0xy，且2xy，求213xyxy的最小值.

【变式5】已知,0xy，求22xyxyxy的最大值及22xyxyxy的最小值.

【变式6】已知正实数,xy满足2241xyxy，求266xyxy的最大值.

【例7】已知,0xy，且24xyxy，求xy的最小值.

【变式8】已知,0xy，且26xyxy，求xy的最小值.

【变式9】已知,0xy，且228xyxy，求2xy的最小值.

- 9 - 【变式10】已知实数,xy满足2241xyxy，求2xy的最大值.

【变式11】已知实数,xy满足221xyxy，求xy的最大值.

【例12】已知,,0abc，且()4aabcbc，求2abc的最小值.

【变式13】已知,,0abc，且222412aabacbc，求abc的最小值.

【例14】已知,,0xyz，且230xyz，求2yxz的最小值.

【变式15】已知,,0xyz，且2221xyz，求12zSxyz的最小值.

【变式16】已知,,0xyz，且2221xyz，求212Sxyz的最小值.

【例17】已知,,0xyz，求222xyyzxyz的最大值.