基本不等式经典例题(学生用)
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基本不等式
知识点:
1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”)
2. (1)若*,R b a ∈,则ab b
a ≥+2 (2)若*,R
b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”)
(3)若*,R b a ∈,则2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”)
3.若0x >,则1
2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”)
若0x <,则1
2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”)
若0x ≠,则1
1
1
22-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”)
4.若0>ab ,则2≥+a b
b a
(当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2
a b a b a b
b a b a b a +≥+≥+≤即或
(当且仅当b a =时取“=”)
5.若R b a ∈,,则2)2(2
2
2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”)
^
注意:
(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,
当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值
例:求下列函数的值域
(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1
x
>
技巧一:凑项
例 已知5
4x <,求函数1
4245y x x =-+-的最大值。
技巧二:凑系数
例: 当时,求(82)y x x =-的最大值。
变式:设2
30<
。 技巧三: 分离换元 例:求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 例:求函数2 y = 的值域。 … 技巧六:整体代换(“1”的应用) 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 例:已知0,0x y >>,且 191x y +=,求x y +的最小值。 技巧七 例:已知x ,y 为正实数,且 x 2+y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值. # 技巧八: 已知a ,b 为正实数,2b +ab +a =30,求函数y =1ab 的最小值. 例: 求函数15 ()22 y x =<<的最大值。 应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知a 、b 、c R +∈,且1a b c ++=。求证:1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知0,0x y >>且191x y +=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 ' 应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 )2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+= ⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是 . &