工业机器人教案
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教案(章、节备课)
教案(课时备课)
第3次课2学时
图2.1 空间任一点的坐标表示 课目、课题
第一节 位姿描述
1. 齐次坐标
2. 动系的位姿表示 教学目的
和要求
掌握齐次坐标及动系位姿表示
重点
难点
重点: 齐次坐标和动系位姿表示
难点:动系位姿表示 教学进程(含课堂教学内容、
教学方法、
辅助手段、师生互动、时间分配、板书设计)
一、复习
二、讲授新课
2.1 位姿描述
2.1.1 齐次坐标
一、空间任意点的坐标表示
在选定的直角坐标系{A }中,空间任一
点P 的位置可以用3 ⨯ 1的位置矢量A P 表示,
其左上标表示选定的坐标系{A },此时
A P =[P X P Y P Z ]T
式中:P X 、P Y 、P Z 是点P 在坐标系{A }中的
三个位置坐标分量,如图2.1所示。 二、齐次坐标表示 将一个n 维空间的点用n + 1维坐标表示,则该n + 1维坐标即为n 维坐标的齐次坐标。一般情况下w 称为该齐次坐标中的比例因子,当取w
= 1时,其表示方法称为齐次坐标的规格化形式,即
P = [P X P Y P Z 1]T
三、坐标轴的方向表示 i 、j 、k 分别表示直角坐标系中X 、Y 、Z 坐标轴的单位矢量,用齐次坐标表示之,则有
X = [1 0 0 0 ]T
Y = [0 1 0 0]T
Z = [0 0 1 0]T
由上述可知,若规定:4 ⨯ 1列阵[a b c w ]T 中第四个元素为零,且满足a 2 + b 2 + c 2 = 1,则[a b c 0]T 中a 、b 、c 的表示某轴的方向; 4 ⨯ 1列阵[a b c w ]T 中第四个元素不为零,则[a b c w ]T 表示空间某点的位置。
四、矢量的方向表示
图2.2中所示的矢量u 的方向用4 ⨯ 1列阵可表达为:
u = [a b c 0]T
图2.2坐标轴及矢量的方向表示 图2.4 连杆的位姿表示
a = cos α,
b = cos β,
c = cos γ
图2.2中所示的矢量u 的起点O 为坐标
原点,用4 ⨯ 1列阵可表达为:
O = [0 0 0 1]T
例2.1 用齐次坐标表示图2.3中所示的矢
量u 、v 、w 的坐标方向。
图2.3 用不同方向角表示方向矢量u 、v 、w
2.1.2 位姿描述
在机器人坐标系中,运动时相对于连杆不动
的坐标系称为静坐标系,简称静系;跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系,简称为动系。动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示,是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。
一、连杆的位姿描述
设有一个机器人的连杆,若给定了连杆PQ 上某点的位置和该连杆在空间的姿态,则称该连杆在空间是完全确定的。
如图 2.4所示,O '为连杆上任一点,
O 'X 'Y 'Z '为与连杆固接的一个动坐标系,即
为动系。连杆PQ 在固定坐标系OXYZ 中的
位置可用一齐次坐标表示为
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来
表示。令n 、o 、a 分别为X '、Y '、Z '坐标轴
的单位矢量,各单位方向矢量在静系上的分量
为动系各坐标轴的方向余弦,以齐次坐标形式
分别表示为
由此可知,连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示: 显然,连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系位姿表示。
例2.2 图2.5表示固连于连杆的坐标系{B }位于O B 点,X B = 2,Y B = 1, Z B = 0。在XOY 平面内,坐标系{B }相对固定坐标系{A }有一个30°的偏转,试写出表示连杆位姿的坐标系{B }的4 ⨯ 4矩阵表达式。
图2.5 动坐标系{B }的位姿表示
二、手部的位姿描述
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B }的位姿来表示,如图2.6所示。坐标系{B }可以这样来确定;取手部的中心点为原点O B ;关节轴为Z B 轴,Z B 轴的单位方向矢量a 称为接近矢量,指向朝外;两手指的连线为Y B 轴,Y B 轴的单位方向矢量o 称为姿态矢量,指向可任意选定;X B 轴与Y B 轴及Z B 轴垂直,X B 轴的单位方向矢量n 称为法向矢量,且n = o ⨯ a ,指向符合右手法则。
图2.6 手部的位姿表示
手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B }原点的矢量P ,手部的方向矢量为n 、o 、a 。于是手部的位姿可用4 ⨯ 4矩阵表示为
例2.3 图2.7表示手部抓握物体Q ,物体是边长为2个单位的正立方体,写出表达该手部位姿的矩阵表达式。
三、目标物齐次矩阵表示
如图2.8所示,楔块Q在图2.8(a)所示位
置,其位置和姿态可用8个点描述,矩阵表达
式为
若让楔块绕Z轴旋转–90°,用Rot(Z,–90°)
表示,再沿X轴方向平移4,用Trans(4,0,
0)表示,则楔块成为图2.8(b)所示的情况。此
时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态,
其矩阵表达式为
图2.8 楔块Q的齐次矩阵表示
三、小结
图2.7 抓握物体Q的手部