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2011级数学分析（2）期末复习
第一部分 各章内容基本要求
第6章
微分中值定理及其应用(续)
1.
掌握凸函数的概念及其一阶导数、二阶导数刻画，掌握凸函数的詹森(Jensen)不等式，能够利用凸函数性质证明一些不等式。
2.
掌握拐点的概念，理解其几何意义，会通过函数的驻点、拐点、单调性、凸凹性以及周期性、奇偶性等描绘函数图像。
例1. 应用凸函数概念或性质证明如下不等式：
(1) 对任意非负实数,,a b 有2
1
();2
a b a b abe
ae be +≤+ (2) 对任何非负实数,,a b 有 2arccot arccot arccot 2
a b
a b +≤+； （3）对任意实数2/3,a b e -≥有()
22
2
2ln (ln ln ).2a b a a b b a b +⎛⎫≤+
⎪⎝⎭+ 例2. 确定下列函数的凸性区间与拐点：
（1）233;y x x =- （2）1ln ;y x x
=+
（3）2ln ;y x x = （4）y =
第7章
实数的完备性
1.
掌握区间套、聚点、开覆盖的概念。会求指定点集的聚点，会判断一族开区间是否构成一个区间（开或半开或闭）的开覆盖。
2.
理解区间套左端点为单调递增有上界数列，右端点为单调递减有下界数列。
3.
理解聚点的三种不同刻画及其等价性，明白集合S 可能有聚点，也可能没有聚点，聚点可以在S 中，也可以不在S 中，有限点集
一定没有聚点，无限点集不一定有聚点。
4.
掌握聚点原理、区间套定理、有限覆盖定理的内容，弄清其成立的条件与结论，掌握一些反例。
5.
理解实数完备性六个基本定理(确界原理、聚点原理、单调有界收敛定理、区间套定理、有限覆盖定理、Cauchy 收敛准则)的等价性及其证明思想。
6.
会用实数完备性的有关定理证明有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性及其相关问题。
例3. 分别求 121|1,2,3,...,[0,1)S n S n
⎧⎫===⎨
⎬⎩⎭
的聚点，并证明之。 例4. 验证数集()11ln n n ⎧⎫-+⎨⎬⎩
⎭有且只有两个聚点11-=ξ和.12=ξ
例5. 设(){}n n b a ,是一个严格开区间套,即满足
,1221b b b a a a n n <<<<<<<ΛΛ
且().0lim =-∞
→n n n a b 证明:存在唯一的一点ξ,使得 .,2,1,Λ=< 如果没有a n 和b n 的严格单调性，结论是否成立？请说明。 例6. 设11,1,2,3H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭ ⎩⎭ L .问 (1) H 能否覆盖()1,0? (2) 能否从H 中选出有限个开区间覆盖 ()()1110,,11,122011⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭ &&&？ 例7. 设f 在),(b a 内连续,且== →)(lim x f a x lim ()2011x b f x - →=.证明: f 在 ),(b a 内有最大值或最小值. 例8. 用有限覆盖定理证明有界闭区间上连续函数的有界性。 例9. 用闭区间套定理证明有界闭区间上连续函数的介值性。 例10. 设函数f 在[),+∞a 上连续, 函数g 在[),+∞a 上一致连续，且有 []lim ()()0x f x g x →+∞ -=. 证明:f 在[),+∞a 上一致连续. 【分段考虑，用有界闭区间上连续函数的一致连续性和上述极限】 第8章 不定积分 1. 掌握原函数与不定积分的概念，明白一个函数的任何两个原函数之间只相差一个常数。 2. 理解函数的不定积分运算是求导运算的逆运算，一个函数的不定积分是一族函数，明白其几何意义。 3. 掌握不定积分的基本性质： (1) ()⎰⎰=='dx x f dx x f d x f dx x f )()( ),( )( . (先积后导, 形式不变). (2) ⎰⎰+=+='c x f x df c x f dx x f )()( ,)()(. (先导后积, 加个常数) (3) 线性和的积分等于积分的线性和，即对R , ∈∀βα, 有 ⎰⎰⎰+=+.)()())()((dx x g dx x f dx x g x f βαβα 4. 熟记14个基本导数公式及其来源。 5. 掌握三种基本积分法：分拆积分法、分部积分法、换元积分法及其道理和适用对象、应用技巧，会用其计算某些函数（多项式函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数及其乘积）的不定积分。 6. 会通过三角代换将含有的积分转化为三角函数有理式的积分；会通过万能代换将三角函数有理式的积分转化为有理函数的积分；会通过根式代换将某些无理根式函数的积分化为有理函数的不定积分；会通过因式分解和变量替换将有理函数积分转化为三种特殊积分并会计算三种特殊积分 () () () 2 22 21 1 ,,k k k x dx dx dx x a x r x r -++⎰⎰ ⎰ 。 例11. 求下列不定积分
