7.32021届高三数学专题复习练习基本不等式(教师版)
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1
【课前测试】
1、“x >0”是“x ＋1
x ≥2成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当x >0时，x ＋1
x
≥2
x ·1x
＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1
x ≥2成立”的充要条
件，故选C. 答案：C
2、已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1
b
的最小值为________．
解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1
3a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2 a 3b ·4b 3a ＝83
.当且仅当a ＝2b ＝3
2时取等号．
答案：83
2
基本不等式
【知识梳理】
1．基本不等式：ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a
b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛
⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数
设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4.(简记：和定积最大)
3
【课堂讲解】
考点一 基本不等式公式的简单应用
例1、若x >0，求函数y ＝x ＋4
x 的最小值，并求此时x 的值；
解：当x >0时，x ＋4
x
≥2
x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4
x
，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4
x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.
变式训练：1、已知x >0，求f (x )＝12
x ＋3x 的最小值；
解：∵x >0，∴f (x )＝12
x ＋3x ≥2
12x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12
x
，即x ＝2时取等号， ∴f (x )的最小值为12.
2、设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82
解析：∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22
＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 答案：C
3、(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322
解析：选B 因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－3
2时等号成立．
答案：B
4、已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
4
解析：选B 因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b ＋2)≤⎝⎛⎭⎫a ＋1＋b ＋222
，
即16≤⎝⎛
⎭⎫a ＋b ＋322
，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成
立，故选B. 答案：B
考点二 配凑法应用
命题点1 凑系数
例2、已知0 3， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2 3时，取等号． 答案：23 命题点2 凑项 例3、已知x >2，求x ＋4 x －2 的最小值； 解：∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4 x －2 ＋2≥2 (x －2)·4 x －2 ＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．∴x ＋4 x －2的最小值为6. 变式训练： 1、设0 2 ，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； 解：∵0 2，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3 4 时，等号成立．