函数与基本初等函数
一、选择题
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
( )
A ．y ＝－x 3，x ∈R
B ．y ＝sin x ，x ∈R
C ．y ＝x ，x ∈R
D ．y ＝(1
2)x ，x ∈R
2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝
( )
A ．log 2x B.12x C ．log 1
2x D ．2x －2
3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 是奇函数，则
( )
A ．b ＝c ＝0
B ．a ＝0
C ．b ＝0，a ≠0
D ．c ＝0
4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为
( )
A ．f (x )＝x 2－4x ＋4
B ．f (x )＝x 2－4x ＋5
C ．f (x )＝x 2－4x －5
D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5
5．函数f (x )＝3x 2
1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )
A ．(－13，＋∞)
B ．(－13，1)
C ．(－13，13)
D ．(－∞，－1
3) 6．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是
( )
A ．f (x )为奇函数
B ．f (x )为偶函数
C ．f (x )＋1为奇函数
D ．f (x )＋1为偶函数
7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x
＜0
的解集为
( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12
b ，(1
2)c ＝log 2c ，则( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c 二、填空题
9．函数y ＝log 1
2x ＋2的定义域是____________．
10．已知函数f (x )＝a x ＋b 的图象经过点(－2，13
4)，其反函数y ＝f －1(x )的图象经过点(5,1)，则f (x )的解析式是________．
11．函数f (x )＝ln 1＋ax
1＋2x
(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．
12．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的范围是________．
13．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，
4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
14．函数f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
15．设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)－g(x)＝x2－x，求f(x)，g(x)．
16．设不等式2(log 1
2x)
2＋9(log
1
2x)＋9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f(x)
＝(log2x
2)(log2x
8)的最大、最小值．
17．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1
x＋2的图象关于点A(0,1)对称．
18．设函数f(x)＝ax2＋1
bx＋c
是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)＜3.
(1)求a，b，c的值；
(2)当x＜0，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．
参考答案
1B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；D 在其定义域内不是奇函数，只是减函数；故选A.2函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以，a ＝2，故f (x )＝log 2x ，选A.3∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.
∴－ax 3－bx 2＝－ax 3＋bx 2，∴b ＝0，故选A.4因为f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即f (x )＝f (2－x )；当x ＞1时，2－x ＜1，此时，f (2－x )＝(2－x )2＋1，即f (x )＝x 2
－4x ＋5.5⎩⎪⎨⎪⎧
1－x ＞03x ＋1＞0，解得－13＜x ＜1.故选B.6令x ＝0，
得f (0)＝2f (0)＋1，f (0)＝－1，
所以f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＋1＝－1，而f (x )＋f (－x )＋1＋1＝0，即 f (x )＋1＝－，所以f (x )＋1为奇函数，故选C. 7因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是不等式变为2f (x )
x ＜0，根据函数的单调性和奇偶性，画出函数的
示意图(图略)，可知不等式2f (x )
x ＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)． 8如下图：
∴a ＜b ＜c . A
9 (0,4]10 f (x )＝2x
＋3 11依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax
1＋2x
＝0，即
1－ax 1－2x ·1＋ax
1＋2x
＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2，解得a 2＝4，但a ≠2，故a ＝－2. 12解法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧
(x 1－1)(x 2－1)＞0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，解之得2≤a ＜52. 13f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称．∴2a ＋ab ＝0⇒b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，且值域为(－∞，4]，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.－2x 2＋4
14设g (x )＝3x 2
－ax ＋5，已知⎩⎨
⎧
a
6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.
15 f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )；g (x )为偶数，∴g (－x )＝g (x )．f (x )－g (x )
＝x 2－x
∴f (－x )－g (－x )＝x 2＋x
