2015年考研数学二真题及答案
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2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnx
x +∞2
dx (C)∫1xlnx +∞
2
dx (D) ∫x
e x
+∞2
dx
【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x
+∞2
dx =2√x|2
+∞
=+∞；
∫lnx x
+∞2dx =
∫lnx +∞
2d(lnx)=1
2(lnx)2|
2
+∞=+∞；
∫1xlnx
+∞
2
dx =∫1
lnx
+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2
+∞=+∞； ∫x
e x
+∞2dx =
−∫x +∞2
de −x
=
−xe −x |2
+∞
+
∫e −x
+∞2
dx
=2e −2−e −x |2
+∞=3e −2
， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0
(1+
sin t x
)x
2
t 在(-∞,+∞)内
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0
(1+
sin t x
)x 2t
=e
lim
t→0x 2t
(1+sin t x −1)
=e
x lim
t→0sint
t
=e x (x ≠0),
f (x )在x =0处无定义，
且lim x→0
f (x )=lim x→0
e x =1,所以 x =0是
f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1
x β,x >0，
0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则
(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出
f′(x )={αx α−1cos 1
x β+βx α−β−1sin 1
x β,x >0，
0,x ≤0
再有 f +′(0)=lim x→0
+
f (x )−f (0)
x
=lim x→0
+
x α−1
cos 1x β
=
{0, α>1,
不存在，α≤1，
f −′(0)=0
于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0
x α−1cos
1x β
=0，
lim x→0
βx
α−β−1
sin
1x β
={0, α−β−1>0,
不存在，α−β−1≤0，
因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数f′′(x)的图形如右图所示，
则曲线y=f(x)的拐点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C
【解析】f(x)在(-∞,+∞)内连续，除点x=0外处处二阶可导。
y=f(x)的可疑拐点是f′′(x)=0的点及f′′(x)不存在的点。
f′′(x)的零点有两个，如上图所示，A点两侧f′′(x)恒正，对应的点不是y=f(x)拐点，B点两侧f′′(x)异号，对应的点就是y=f(x)的拐点。
虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y= f(x)的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数f(μ,ν)满足f(x+y,y
x )=x2−y2，则∂f
∂μ
|
μ=1
ν=1
与∂f
∂ν
|μ=1
ν=1
依次
是
(A)1
2,0(B)0,1
2
(C)−12
,0 (D)0,−1
2
【答案】D
【解析】先求出f (μ,ν) 令{μ=x +y,ν=y x
,⇒{x =μ
1+ν
,
y =μν1+ν,
于是 f (μ,ν)=
μ2(1+ν)2
−μ2ν2(1+ν)2
=
μ2(1−ν)1+ν
=μ2(
21+ν
−1)
因此∂f ∂μ|μ=1ν=1
=2μ(
21+ν
−1)|
(1,1)
=0
∂f
∂ν
|μ=1ν=1
=−
2μ2
(1+ν)2
|(1,1)
=−12
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D 上连续，则∬f (x,y )dxdy =D (A)∫dθπ3π4
∫
f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θ
rdr (B) ∫dθπ
3π4∫f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θ
rdr
(C) ∫dθπ3π4
∫
f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θ
dr (D) ∫dθπ3π4∫
f(r cos θ,r sin θ)√sin 2θ√2sin 2θ
dr
【答案】 B
【解析】D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将∬f (x,y )dxdy D
化为累次