高三模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：
锥体的体积公式：V ＝13
Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸
的指定位置上）
1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________．
2．若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ．
3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．
4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若
一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．
5．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ． 6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22，且S 1，S 2，
S 4成等比数列，则a 10等于 ▲ ． 7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．
（第5题图）
（第4题图） A
B C A 1 B 1 F C 1 E
A N B
P M C
8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12
，－2)，则φ的值为▲________．
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是▲________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是▲________.
11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273
，则AC 的长为▲________．
12．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O
的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．
13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝
{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1b
的最大值是▲________． 14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底
数，则实数a 的取值范围为▲________．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请
把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
已知α为锐角，cos (α＋π4)＝55
． （1）求tan(α＋π4
)的值； （2）求sin(2α＋π3
)的值．
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点．
（1）求证：PB ∥平面MNC ；
（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .
17．(本小题满分14分) 如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相
切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？
18． (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．若点A (－a ，0)，B (0，a 3
)，且AB →＝32
BC →． （1）求椭圆M 的离心率；
（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，
且直线l 不与y 轴重合．
①若点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67
)，求直线l 的方程； ②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．
（第16题图） （第17题图）
19．(本小题满分16分)
对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得
a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝
b ，记S ＝n -1
∑i =0
|f (x i ＋1)－f (x i )|．若存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关
的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ．
（1）若函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；
（2）若函数f (x )＝x e x ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值； （3）对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12
x 2 在区间[1，e ]上具有性质V ．
20．(本小题满分16分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)．
（1）求p 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式；
（3）设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．
