2012年全国中学生数学能力竞赛(初赛)试题

2012年全国中学生数学能力竞赛（初赛）试题

高二年级组

基础能力部分（共60分，每题5分）

一、运算求解能力（会根据法则、公式进行正确运算、变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径）

1、已知04x π<<，5sin()413x π

-=，则cos 2cos()4

x x π+的值为___________. 2、直线240x y --=上有一点P ，它与两定点(4,1)A -，(3,4)B 的距离之差最大，则点P 的坐标是________.

3、已知函数log (1)3a y x =-+（0,1a a >≠）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{n a }的第二项与第三项，若1

1n n n b a a +=，数列{n b }的前n 项和为n T ，则10T =_________. 二、数据处理能力（会收集、整理、分析数据，能抽取对研究问题有用的信息，并作出正确的判断；能根据要求对数据进行估计和近似计算）

4、以下给出了一个程序框图如图所示，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值，若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则这样的x 的值有__________个.

5、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则估计这次测试数学成绩的平均分为________分.

三、空间想象能力（会画简单的几何图形；能准确地分析图形中有关量的相互关系；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质）

6、如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成.

四、抽象概括能力（能从具体、生动的实例中发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断）

7、定义运算“*”如下：2,,a a b a b b a b ≥⎧*=⎨<⎩

，则函数()(1*)(2*)([2,2])f x x x x x =⋅-∈-的最大值等于__________.

8、已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2

f x f x -=，(2)3f -=-，数列{n a }满足11a =-，且2n n S a n =+，（其中n S 为{n a }的前n 项和），则56()()f a f a +=____.

五、推理论证能力（会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的真实性）

9、观察图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式为________________.

10、如图1是一个水平摆放的小正方形木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块的总数是__________.

六、实践能力（能够对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明）

11、某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：

问：该商场销售空调和冰箱获得的总利润最大为________.

七、创新意识（能够独立思考，灵活和综合地运用所学数学的知识、思想和方法，提出问题、分析问题和解决问题）

12.、已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈）我们把使乘积12n a a a ⋅⋅⋅为整数的数n 叫做“成功

数”，则在区间(1,2012)内的所有成功数的和为_____________.

综合能力部分（共90分）

13、（本题满分10分）

已知集合2{|560}A x x x =-+=，{|10}B x mx =+=，且A

B A =，求实数m 的值组成的集合.

14、（本题满分10分）

设2()6cos 32f x x x =-.

⑴ 求()f x 的最大值及最小正周期； ⑵ ABC ∆中锐角A 满足()33f A =-，12B π

=，角A B C 、、的对边分别为

,,a b c ，求2

()a b c b a ab

+-的值.

15、（本题满分16分）

已知函数2()||21f x ax x a =-+-（a 为实常数）.

⑴ 若1a =，求()f x 的单调区间； ⑵ 若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；

⑶ 设()()f x h x x

=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围.

16、（本题满分16分）

如图，某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”，其中AB 长为定值a ，BD 长可根据需要进行调节（BC 足够长）.现规划在ABD ∆的内接正方形

BEFG 内种花，

其余地方种草，且把种草的面积2S 与种花的面积1S 的比值21

S S 称为“草花比y ”.

⑴ 设DAB θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；

⑵ 当BE 为多长时，y 将有最小值？最小值是多少？

17、（本题满分18分）

从盛满20升纯酒精容器里倒出1升然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行……

⑴ 求前10次共倒出的纯酒精多少升？ ⑵ 求第12次倒出多少升纯酒精？

18、（本题满分20分）

已知{n a }是等比数列，12a =，318a =；{n b }是等差数列，12b =，123412320b b b b a a a +++=++>.

⑴ 求数列{n a }的前n 项和n S 的公式；

⑵ 求数列{n b }的通项公式； ⑶ 设14732n n P b b b b -=+++⋅⋅⋅+，10121428n n Q b b b b +=+++⋅⋅⋅+，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅，试比较n P 与n Q 的大小，并证明你的结论.