齐次线性方程组解的结构(精)

齐次线性方程组解的结构

在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.

线性方程组的向量表示

设有齐次线性方程组，记：

,，

则方程组可写成向量形式： Ax=0.

若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.

定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：

（1）若，则；（2）若，则.

所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.

对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，

它的解向量可用通式表示为：

=1，

，(其右端的都是解向量：若取k

1

其余的k为0，即可看出ξ

为解向量，...。)

1

故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。（注：

对此我们不加证明）

定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.

注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。是解空间的一个基。

设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：

，其中k

1，k

2

，...，k

n-r

为任意实数.这个式子称为方

程组的通解。

例：求解方程组：

解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.

通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数