二次函数最大利润应用题
参考答案与试题解析
1．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、
线段CD分别表示该产品每千克生产成本y
1（单位：元）、销售价y
2
（单位：元）
与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y
1
与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y
1与x之间的函数关系式为y=k
1
x+b
1
，
∵y=k
1x+b
1
的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y
2与x之间的函数关系式为y=k
2
x+b
2
，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y
2
=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
2．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
y=．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？
【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意可知：30n+120=420，
解得n=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只．
（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；
当9≤x≤15时，设P=kx+b，
把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，
解得，
∴p=0.1x+3.2，
=513（元）；
①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w
最大
②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，
∵x是整数，
=741（元）；
∴当x=9时，w
最大
③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，
∵a=﹣3＜0，
=768（元）；
∴当x=﹣=12时，w
最大
综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．
（3）由（2）可知m=12，m+1=13，
=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），
设第13天提价a元，由题意得，w
13
∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a=0.1．
答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
3．近期，海峡两岸关系的气氛大为改善．大陆相关部门对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克销售（元）40 39 38 37 (30)
每天销量（千克）60 65 70 75 (110)
设当单价从40元/千克下调了x元时，销售量为y千克；
（1）写出y与x间的函数关系式；
（2）如果凤梨的进价是20元/千克，若不考虑其他情况，那么单价从40元/千克下调多少元时，当天的销售利润W最大？利润最大是多少？
（3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天），凤梨最长的保存期为一个月（30天），若每天售价不低于32元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？
（4）若你是该销售部负责人，那么你该怎样进货、销售，才能使销售部利润最大？
【解答】解：（1）y=60+5x
（2）w=（40﹣x﹣20）y=﹣5（x﹣4）2+1280
∴下调4元时当天利润最大是1280元
（3）设一次进货m千克，由售价32元/千克
得x=40﹣32=8，
此时y=60+5x=100，
∴m≤100×（30﹣7）=2300，
答：一次进货最多2300千克
（4）下调4元时当天利润最大，
由x=4，y=60+5x=80，m=80×（30﹣7）=1840千克
∴每次进货1840千克，售价36元/千克时，销售部利润最大．
