高考复习专题之：概率与统计
、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值
１．随机事件 A 的概率 0 P （A ） 1，其中当 P （A ） 1时称为必然事件； 当 P （A ） 0 时称为不可能事件 注：求随机概率的三种方法： 一）枚举法
例 1 如图 1 所示， 有一电路 AB 是由图示的开关控制， 闭合 a ，b ， d ，e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有
10 种，分别是 a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、 bd 、
其中能形成通路的有 6 种，所以 p （ 通路）= 6 =3 10
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评注: 枚举法是求概率的一种重要方法 ,这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算
二）树形图法 例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各
执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负， 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又 如，
两人同时出象牌，则两人平局．如果用 A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A 1、B 1、C 1 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？
三）列表法 例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位
数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（ 1）组成的两位数是偶数的概率；（ 2）组成的两位数是 6 的倍数 的概率．
分析： 本题可通过列表的方法， 列出所有可能组成的两位数的可能情况， 然后再找出组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数 是 6 的倍数的可能情况。
分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结
果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果 有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有
3 种．所 1 以 P （一次出牌小刚胜小明） =1
3 点评: 当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结
果，通过画树形图的方法来计算概
率
P(A)=0 ；
be 、 cd 、 c e 、de ，
解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所
21 以( 1)两位数是偶数的概率为
．( 2)两位数是6 的倍数的概率为．
33 点评：当一事件要涉及两个或更多的因
素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概
2. 等可能事件的概率(古典概率) P(A)=
率
3、互斥事件： (A、B互斥，即事件A、B 不可能同时发生)。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B) 。
4、对立事件：( A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生)。计算公式是：P(A)+ P(B) ＝１；P( A)=1－P(A)；
5、独立事件： (事件A、B的发生相互独立，互不影响) P(A?B)＝P(A) ? P(B) 提醒：( 1)如果事件A、B独立，那么事件A与B 、A与B及事件A与B也都是独立事件；( 2)如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P(A B)＝1－
P(A)P(B) ；( 3)如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－
P( A B)＝1－P( A)P( B)。
6、独立事件重复试
事件A在n次独立重复试验中恰好．发．生．了．．k次．的概率P n(k) C n k p k(1 p)n k(是二项验：
展开式[(1 p) p]n的第k+1 项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
提醒： ( 1)探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解( 分类
或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为若干个互
斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。( 2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，
事件对立是事件互斥的充分非必要条件；( 3) 概率问题的解题规范：①先设事件A=“⋯”，B= “⋯”；②列
式计算；③作答。
二、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的. 试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验
2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则a b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f (x)是连续函数或单调函数，则f ( )也是随机变量. 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2, ,x i , ξ取每一个值x1(i 1,2, )的概率P( x i ) p i ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
x1 x2 x i
P p1 p2 p i
有性质：① p1 0,i 1,2, ；② p1 p2 p i 1.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：[0,5] 即可以取0～
