数学建模题目及答案解析

09级数模试题

1、 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然后稍微挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。(15分) 解:对于此题,如果不用任何假设很难证明,结果很可能就是否定的。 因此对这个问题我们假设 : (1)地面为连续曲面

(2)长方形桌的四条腿长度相同

(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿就是足够长的 (4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么,总可以让桌子的三条腿就是同时接触到地面。

现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案就是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处,A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行,再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B,C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时,对角线 ab 与x 轴的夹角记为

θ。

容易瞧出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离就是不确定的。为消除这一不确定性,令

()f θ为

A 、

B 离地距离之

与,()g θ为C 、D 离地距离之与,它们的值由θ唯一确定。由假设(1),

()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设(3),三条腿总能同时着地, 故()f θ()g θ=0

必成立

(∀θ)。不妨设(0)0f =,(0)0g >g (若(0)g 也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于就是

问题归结为: 已知

()f θ,()g θ均为θ的连续函数,(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=,求证存在

某一0θ,使

00()()0f g θθ=。

证明:当θ=π时,AB 与CD 互换位置,故()0f π>,()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-,显然,()h θ也就是θ的连续函数,(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->,由连续函数的取零值定理,存在0θ,

00θπ

<<,使得

0()0

h θ=,即

00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=,故必有

00()()0f g θθ==,证毕。

2、学校共1000名学生,235人住在A 宿舍,333人住在B 宿舍,432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会,试用合理的方法分配各宿舍的委员数。(15分)

解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设:A 宿舍的委员数为x 人,B 宿舍的委员数为y 人,C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1,其余取整数部分。 则

x+y+z=10; x/10=235/1000;

y/10=333/1000;

z/10=432/1000;

0x10

0y10,x,y,z为正整数;

0z10

解得:x=3

y=3

z=4

3、一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力,估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元,但就是预测每天会降低0、1元,问该场应该什么时候出售这样的生猪可以获得最大利润。(15分)

解:设在第t天出售这样的生猪(初始重80公斤的猪)可以获得的利润为z元。

每头猪投入:5t元

产出:(8-0、1t)(80+2t)元

利润:Z = 5t +(8-0、1t)(80+2t)=-0、2 t^2 + 13t +640

=-0、2(t^2-65t+4225/4)+3405/4

当t=32或t=33时,Zmax=851、25(元)

因此,应该在第32天过后卖出这样的生猪,可以获得最大利润。

4、一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1,或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求,生产的A1,A2全部能售出,且每公斤A1获利24元,每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天工人总的劳动时间为480小时,并且设备甲每天至多能加工100公斤A1,设备乙的加工能力没有限制。(1)试为该厂制订一个生产计划,使每天获利最大。(2)33元可买到1桶牛奶,买不？(3)若买,每天最多买多少?(4)可聘用临时工人,付出的工资最多就是每小时几元? (5)A1的获利增加到30元/公斤,应否改变生产计划？(15分)

解:设:每天生产将x桶牛奶加工成A1,y桶牛奶加工成A2,所获得的收益为Z元。

加工每桶牛奶的信息表:

(1)x+y<=50

12x8y480

03x100

y0

Z=24*3x + 16*4y=72x+64y

解得, 当 x=20,y=30时, Zmax=3360元

则此时,生产生产计划为20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2。

(2)设:纯利润为W元。

W=Z-33*(x+y)=39x+31y=3360-33*50=1710(元)>0

则,牛奶33元/桶可以买。

(3)若不限定牛奶的供应量,则其优化条件变为:

12x8y480

03x100

y0

W=39x+31y

解得,当x=0,y=60时 , Wmax=1860元

则最多购买60桶牛奶。

(4) 若将全部的利润用来支付工人工资,设工资最高为n元。 n=Wmax/480=3、875(元)

(5)若A1的获利为30元,则其优化条件不变。

Z1=90x+64y