曲线与方程知识点

曲线的交点

学习目标：

1．掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)

2．领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点) 3．直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)

书本例题（缺图）

例1已知探照灯的轴截面是抛物线x y =2

，平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点)1,1(-P ,反射光线过焦点后又照射到抛物线上的Q 点.试确定点Q 的坐标.

例2在长、宽分别为10m ，18m 的矩形地块内，欲开凿一花边水池，池边由两个椭圆组成，试确定两个椭圆的四个交点的位置.

例3已知直线l ：kx －y ＋2＝0，双曲线C ：x 2－4y 2＝4，当k 为何值时： (1)l 与C 无公共点； (2)l 与C 有唯一公共点； (3)l 与C 有两个不同的公共点．

【精彩点拨】 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k 的取值． 【自主解答】 将直线与双曲线方程联立消去y ，得

(1－4k 2)x 2－16kx －20＝0.① 当1－4k 2≠0时，

有Δ＝(－16k )2－4(1－4k 2)·(－20)＝16(5－4k 2)． (1)当1－4k 2≠0且Δ<0，即k <－

52或k >5

2

时，l 与C 无公共点． (2)当1－4k 2＝0，即k ＝±1

2时，显然方程①只有一解．

当1－4k 2≠0，Δ＝0，即k ＝±5

2时，方程①只有一解．

故当k ＝±12或k ＝±5

2时，l 与C 有唯一公共点．

(3)当1－4k 2≠0，且Δ>0时，即－52

2

时，方程有两解，l 与C 有两个公共点．

直线3y kx =+与椭圆22

194

x y +=有公共点，则k 的取值范围是 ______. 书64页

10.设双曲线C ：14

22

=-y x ，直线l 的方程是)2(1-=-x k y .当k 为何值时，直线l 与双曲线C

(1)有两个公共点？ (2)仅有一个公共点？ (3)没有公共点？

11.直线1y ax =+与双曲线2

2

31x y -=相交于A 、B 两点. (1)求AB 的长；

(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？

1．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

图2-6-5

【解】 (1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．

(2)当k ≠0时，联立⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x ＋2)＋1，

y 2＝4x ，

消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，

Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．

①当Δ＝0，即k ＝－1或1

2时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；

②当Δ>0，即－1

2且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；

③当Δ<0，即k <－1或k >1

2时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．

综上，当k ＝－1或1

2或0时，

直线l 与抛物线只有一个公共点；

当－1

2且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；

当k <－1或k >1

2时，直线l 与抛物线没有公共点.

已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 2

4

＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，

求弦AB 的长．

【精彩点拨】 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A ，B 坐标间的联系，进行整体运算．

【自主解答】 ∵直线l 过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2.

∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，

得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫

53，43. 则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2 ＝

⎝⎛⎭⎫0－532＋⎝⎛⎭⎫－2－432＝

1259＝55

3

. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1的公共解．

对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0， 则x 1＋x 2＝5

3，x 1x 2＝0，

∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )

＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]

＝

()1＋22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5

32－4×0＝

55

3

.

法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y －2＝0，x 25＋y 24＝1，

消去y ，得3x 2－5x ＝0，

则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝5

3

.

由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝1

5

×(5－x 1)， F 1B ＝

1

5

×(5－x 2)， 则AB ＝AF 1＋F 1B ＝

15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253

＝553.

2．如图2-6-6，椭圆x 216＋y 2

9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交

于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．

图2-6-6

【解】 由椭圆的方程x 216＋y 2

9＝1知，a ＝4，b ＝3，

∴c ＝a 2－b 2＝7.

由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1.

法一：消去y ，整理得 25x 2＋327x －32＝0，

∴x 1＋x 2＝－32725，x 1x 2＝－32

25，

∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2((x 1＋x 2)2－4x 1x 2) ＝

2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭

⎫－

327252

＋4×3225＝14425.

又点F 2到直线l 的距离d ＝

|7－0＋7|

2

＝14，