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2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）
一、选择题
1．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为（）
A．2 B．1 C．D．
4．已知命题P：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题P是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．[0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
5．若k∈R，则方程表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是（）A．﹣3＜k＜﹣2 B．k＜﹣3 C．k＜﹣3或k＞﹣2 D．k＞﹣2
6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y＝3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
7．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）
A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜6
8．双曲线C的渐近线方程为y＝±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C．D．
9．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则＝（）A．0 B．C．D．
10．不等式＜1的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣2，﹣1] B．[﹣2，﹣1]
C．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
11．已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，＝3，则|k|＝（）
A．2B．C．D．
12．已知点F为双曲线E：＝1（a，b＞0的右焦点，直线y＝kx（k＞0）与E交于M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈[]，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．[] B．[2，] C．[2，] D．[] 二、填空题（本题共4小题.）
13．已知＝（1，2，﹣y），＝（x，1，2），且（+2）∥（2﹣），则x+y＝．14．若点O和点F分别为椭圆+＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则•的最小值为．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩
余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．
16．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线y2＝2px（p＞0）于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若＝（+），则双曲线的离心率的平方为．
三、解答题（本大题共6小题）
17．已知命题p：函数y＝x2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，命题q：对函数y＝﹣4x2+4（2﹣m）x﹣1，y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
18．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．
19．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若平行于OA（O为坐标原点）的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|＝3．求△AMN的面积．
20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的余弦值．
21．已知椭圆C1的方程为+y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y＝kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且•＞2（其中O为原点），求k的取值范围．
22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点连线相互垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题）
1．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．
其中真命题的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】写出①命题的逆命题判断正误；写出②的否命题判断正误；直接判断③的正误，即可得到选项．
解：①“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，显然逆命题不正确；
②“若ab＝0，则a＝0”的否命题：若ab≠0，则a≠0，是正确命题；
③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，原命题是
真命题，所以正确．
真命题是②③．
故选：C．
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为（）
