圆锥曲线大综合
第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题
一．常考题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题
题型十：范围为题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）
二．热点问题
1.定义与轨迹方程问题
2.交点与中点弦问题
3.弦长及面积问题
4.对称问题
5.范围问题
6.存在性问题
7.最值问题
8.定值，定点，定直线问题
第二部分 知识储备
一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）
1. 判别式：24b ac ∆=-
2. 韦达定理：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则
12b x x a +=-
，12c
x x a
⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则
1,22b x a
-±=
二．与直线相关的知识
1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式
2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；
②点到直线的距离公式：
d =
或d =
（斜截式）
3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：
1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222:
,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：
① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且
5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则
111
2
,22
x x y y x y ++=
= 三．圆锥曲线的重要知识
考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线
1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程
②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等
4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2
2b a
，抛物线2p
②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时12
2tan
2
F PF S
b θ
=⋅
p 在双曲线上时12
2/tan
2
F PF S
b θ
=
四．常结合其他知识进行综合考查
1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系
2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识
3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等
五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆
例1.（本小题共14分）
已知双曲线
，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线
交于不同的两点，证明的大小为定值…
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为， 化简得.
由及得， ∵切线与双曲线C
交于不同的两点A 、B ，且，
∴，且，
设A 、B 两点的坐标分别为，
则， ∵
，且
， 22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>3x =C l 2
2
:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠2a c c a
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩1,a c ==2
2
2
2b c a =-=C 2
2
12
y x -=()()0000,0P x y x y ≠22
2x y +=()00,P x y ()0
000
x y y x x y -=-
-002x x y y +=2
20
012
2
y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22002x y +=()222
000344820x x x x x --+-=l 2
002x <<20340x -≠()()
222
00016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 2
00
121222
00482,3434
x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB
⋅∠=
⋅()()121212010220
1
22OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+
--
