专题：相似三角形的几种基本模型及练习

专题：相似三角形的几种基本模型

（1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形.

“A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型

（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形.

A

B

C

D E

1

2A

A

B

B

C

C D

D

E

E

124

1

2

（3） “母子” （双垂直）型 射影定理：

由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。

“母子” （双垂直）型 “旋转型”

（4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型

“K ” 字（三垂直）型

（6）“半角”型

图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN=

1

2∠BAC ，结论：△A BN ∽△MAN ∽△MCA ； 图2 ：△ADE 是等边三角形， ∠DAE=1

2

∠BAC ，结论：△A BD ∽△CAE ∽△CBA ；

应用

A

E

A

D

A

B

D

E

A

A

B B

C C

D D

E

E

B

E

A C

D

1

2

B

C

D 图2

图1

旋转

N M

60°

120°

B

A 45°

D

C B A

1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在

图3 图 4 图5

3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 对 B. 5对 对 D. 7对

4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③

AD AE ＝AB

AC

.其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可)

7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________．

图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( )

A ．∠BAD ＝∠CAE

B ．∠B ＝∠D ＝A

C AE ＝

AC AE

9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1

4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE

∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。

图10 图11

10.如图12，在Rt △ABC 中，∠ACB 90°，CD ⊥AB 于点D ，BD

2，AD 8，则CD ______，AC ______，

BC ______．

A

B

F

C

D

E

G A

B

C

D

E

A B

C

D

E F

11．如图13，在平面直角坐标系中，直线1

=

+22

y x 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD ，使AD =5．则点C 的坐标为_______，点D 的坐标为_______．

图12 图13 图14 图15

12．如图14，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片

OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ′的位置上．若OB =5，

1

2

BC OC =，则点A ′的坐标为________． 13．如图15，在边长为 9的正三角形ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，则 AE 的长为_____． 14．四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证：△EDM ∽△FBM ； (2)若DB ＝9，求BM .

15．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE .

16.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD ，BE 交于点F ．求证：1

2

DF AF =．

17．如图所示，Rt △ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 在BC 上运动(不能到达点B ，C )，过点D 作∠ADE ＝45°，DE 交AC 于点E . A'

A

B

C

y x

O

O

x

y

D

C

B

A

C

D

B

A