2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习.doc

F

E

D 1C 1

B 1

B

C

D A 1A

2019-2020学年高三数学 高三数学周练试卷复习

一．填空题

1. 已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x ． 2．集合{

}*

523M x x N

=--∈，则M 的非空真子集的个数是 ．

3. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 ．

4. 方程lg(2)1x x +=有 个不同的实数根

5. 不等式

1

1

112-≥-x x 的解集为 6. 直线(2m 2

+m-3)x+(m 2

-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m=

7. 已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅， 则tan x = ．

8. 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12

BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅= ．

9.32

121212()1,()[()()]0

f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足（21x x ≠），则

实数m 的取值范围是

10. 已知B 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左准线与x 轴的交点， (0,)A b ，若满足

2AP AB =的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .

11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =

，11

3

CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD

F ABD

V V --= ______.

12. 已知函数ln ,

1()1(2)(),1x x f x x x a x e

≥⎧⎪

=⎨+-<⎪⎩（a 为常数，e 为自然对数的底数）的图象在

点(,1)A e 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题

13.已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos 2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为

ABC ∆的内角．

（1）求角C 的大小；（2）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．

15. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f （x ）

=1﹣ax 2

（a ＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P （t ，f （t ））．

（1）将△OMN（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数S （t ）； （2）若在t=处，S （t ）取得最小值，求此时a 的值及S （t ）的最小值．

16.椭圆C ：22

22+1x y a b

=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过

原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．

13. 解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， 所以

c o s c o s 2C C -=

，即2

2cos cos 10C C +-=故1

cos 2

C =

或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3

C π

=

．

（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ①

由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，

及6AB =得，12AC BC +=． ② 由①②解得6,6AC BC ==． 14．证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，

因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且1

2

FG CD =． 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且1

2

AE CD =

． 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形．所以EF ∥AG ，又EF ⊄

平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 故EF ∥平面PAD ． （Ⅱ）设AC

DE H =，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得

1

2

AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，13

33

AG AC ==．

所以23

AG AB AE AC ==

，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． 又DE PA ⊥，PA

AC A =，

所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ．

15. 解：（1）∵曲线f （x ）=1﹣ax 2

（a ＞0） 可得f′（x ）=﹣2ax ，P （t ，f （t ））．

直线MN 的斜率为：k=f′（t ）=﹣2at ，可得 L MN ：y ﹣f （t ）=k （x ﹣t ）=﹣2at （x ﹣t ）， 令y=0，可得x M =t+

，可得M （t+

，0）；

令x=0，可得y M =1+at 2

，可得N （0，1+at 2

）， ∴S（t ）=S △OMN =×（1+at 2

）×

=；