1
A
D
O
菱形的判定和性质
一、知识点归纳 （一）菱形的概念
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质：
因为ABCD 是菱形⇒⎪⎩⎪
⎨⎧.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；
（有通性；）具有平行四边形的所（ 菱形是轴对称图形；
（三）菱形的判定：
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫
+分）对角线垂直且相互平（边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（4321
⇒四边形ABCD 是菱形.
（四）菱形的面积
1、可以用平行四边形的面积算（S=
2
1
底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=
2
1
ab)
二、例题讲解
考点一 ：菱形的判定
例1：下列命题正确的是（ ）
（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
（B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习
C
D
2
1：菱形的对角线具有( )
A ．互相平分且不垂直
B ．互相平分且相等
C ．互相平分且垂直
D ．互相平分、垂直且相等 2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ， 则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形
C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形
D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形
3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点
A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )
A ．DE 是△ABC 的中位线
B ．AA '是B
C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高
D ．AA '是△ABC 的角平分线
A
B
D
E
A '
4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？
请说明理由．
变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥
∥则四边形AEDF 课后练习
1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，
试说明四边形AEFG 是菱形．
2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 互相平分。
A
B
C
D
D
B
C
A N
M O A
D
3
3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。 考点二：菱形的性质
例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB
的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG
⊥AE 于G ，
求证：（1）四边形AFGD 是菱形； （2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。 练习
1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4， 求：（1）∠ABC 的度数； （2）菱形ABCD 的面积。
例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．
练习
1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A 2 B 2 C ．22cm D ．2 2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）
（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm
3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )
A ．21㎝
B ．22㎝
C ．23㎝
D ．24㎝ 例3： 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，
沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) A ．2
10cm
B ．2
20cm
C ．2
40cm
D ．2
80cm
练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm 练习2：若菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC 于E ，AE ＝
1cm ，则BC 的长是（ ）
O D
C
B
A
F
E D
C
B
A
E
D
C
B
A
