下载文档原格式
有限单元法基础答案【篇一：高等有限元课后题答案(1)】txt> 思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为b，每个结点的自由度为n，各单元中结点整体码的最大差值为d，则b=n(d+1) ，在平面问题中n=2 。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
弹性力学及有限单元法_河海大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.建立平衡微分方程时，用到了下列哪些假定（）、（）。
参考答案:连续性_小变形2.有限单元法中的单元仍然满足（）、（）、（）、（）的理想弹性体。
参考答案:完全弹性_均匀性_各向同性_连续性3.应力边界条件是指在边界上（）之间的关系式。
参考答案:应力与面力4.面力是指分布在物体的力。
参考答案:表面上##%_YZPRLFH_%##表面5.位移是指一点的移动。
参考答案:位置6.线应变（或正应变）以为正。
参考答案:伸长7.极坐标系下的几何方程有（）。
参考答案:3个8.极坐标系下的平衡微分方程有（）。
参考答案:2个9.应力是指上的内力。
参考答案:单位面积##%_YZPRLFH_%##单位截面10.地面的沉陷与地基的弹性模量无关。
（）参考答案:错误11.弹性力学问题中，仅对位移分量要求单值。
（）参考答案:错误12.在小边界上按圣维南原理列写的三个边界条件是方程。
参考答案:代数##%_YZPRLFH_%##积分13.在大边界上按精确的应力边界条件，列出的两个边界条件是方程。
参考答案:函数14.精确的应力边界条件可理解为，边界上的应力分量应等于对应的。
参考答案:面力分量15.当体力为常量时，按应力求解可简化为按求解。
参考答案:应力函数16.常体力，是指。
参考答案:体力是常量##%_YZPRLFH_%##体力等于常量##%_YZPRLFH_%##体力为常量17.体力是指分布在物体的力。
参考答案:体积内##%_YZPRLFH_%##体积18.在弹性力学中，可以应用叠加原理。
参考答案:正确19.逆解法先假设应力分量的函数形式进行求解。
参考答案:错误20.应力的量纲与面力的量纲是一样的。
参考答案:正确21.弹性力学中应力的符号与面力的符号规定，在正、负坐标面上是一致的。
参考答案:错误22.弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定是一样的。
参考答案:错误23.小变形假定可简化（）、（）为线性方程。
一．简答题：1.有限单元法和里兹法的区别：有限单元法：(1) 将连续的求解域离散为有限个单元组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。
(2)数学意义上，是把微分方程的连续形式转化为代数形式方程组。
里兹法：在整个求解域上，直接从泛函出发，通过假设试探函数，求得问题的近似解。
2. 泛函的两个基本点：(1)泛函有它的定义域，这个定义域是指满足一定条件的函数集。
(2)泛函](xy具有明确的对应关系，泛函的值是由一条可取曲线 与可取函数)[y的整体性质决定的，它表现在“积分”上。
3. 有限单元法的基本步骤：(1)结构或物体的离散化。
(2)选取单元内的场变量插值函数。
(3)进行单元分析，求单元特性矩阵和单元特性列阵。
(4)进行整体分析，组装整体特性矩阵和整体特性列阵，建立整体方程。
(5)计算单元内部的场变量。
4. 选取插值函数的原则：(1)广义坐标的个数与单元自由度数一致。
(2)为提高单元精度，插值多项式应尽量选取完全多项式。
有时完全多项式的项数与单元自由度数并不相同，这时可以增加单元的节点个数以使单元的自由度数和完全多项式的项数相同；还可以减少多项式的项数，以使问题变得简单，但此时应注意保持多项式的对称性。
5. 收敛准则：准则1 完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数为m阶，则有限单元法收敛的条件之一是单元内场函数的插值函数至少是m次完全多项式，或者说插值函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。
准则2 协调性要求。
如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在相邻单元的交界面上应有函数直到m - 1阶的连续导数。
6. 等参变换的定义：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元变换为整体坐标系中几何形状扭曲的单元。
当坐标变换和函数插值采用相同的节点，为等参单元；当坐标变换节点数多于插值函数节点数，为超参变换；当坐标变换节点数少于插值函数节点数，为亚参变换。
7. 等参单元基本思想：用相同数目的节点参数和相同的插值函数来定义单元的形状以及单元内的场变量。
一．有限元法求解弹性力学问题的基本步骤，为什么应力解答的精度低于位移解答精度？（1）步骤1 弹性单元的离散化 2选择位移函数 3建立单元刚度方程 4建立整体平衡方程5，求解整体平衡方程（2）位移法求解，位移是直接解，应力是一个与位移导数相关的派生解，这就导致了应力解答的精度低于位移解答精度。
二．简述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的性质单元刚度矩阵性质 481单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵性质1每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题，每列元素之和为零。
2.单元刚度矩阵中对角线上的元素为正。
3 单元刚度矩阵为对称矩阵4 单元刚度矩阵为奇异矩阵，排除整体刚度位移后为正定矩阵。
5 整体刚度矩阵是带状矩阵三、简述你知道的单元类型，对同一类型的单元精度比较，给出一般规律。
三角形单元中，三结点的常应变单元，其单元内应力是常量，它是一种简单但精度低的单元；六结点的二次三角形单元精度高但不能适应曲线边界。
而矩形单元，其精度虽比相应的三角形单元高，但不易改变单元尺寸，以及不能适应曲线边界和非直角的直线边界。
平面等参数单元适应了曲线边界和非直角的直线边界。
四、有限元网格划分的过程中应注意哪些问题？1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。
一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加。
实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。
2网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。
在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。
而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。
有限元考试复习资料（含习题答案）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3.什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4.什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5.何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
①优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
有限单元法参考答案有限单元法参考答案有限单元法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、电磁场等问题的求解。
在有限单元法中，将连续的物体或区域离散成有限个单元，通过对单元进行逐一求解，最终得到整个问题的解。
本文将介绍有限单元法的基本原理和应用，并给出一些参考答案。
一、有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理是将一个连续的物体或区域离散成有限个单元，通过对单元进行逐一求解，最终得到整个问题的解。
在离散的过程中，通常需要选择合适的单元形状和节点布局。
常见的单元形状有三角形、四边形、六边形等，节点则是单元的顶点。
在有限单元法中，通过建立单元之间的关系，可以将整个问题转化为一个线性方程组的求解问题。
这个线性方程组通常由结构的刚度矩阵和载荷向量组成。
刚度矩阵描述了单元之间的刚度关系，而载荷向量则描述了外部施加在结构上的力。
通过求解这个线性方程组，可以得到结构的位移和应力分布。
二、有限单元法的应用有限单元法广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、电磁场等问题的求解。
下面将介绍有限单元法在结构分析中的应用。
1. 结构分析有限单元法在结构分析中的应用非常广泛。
通过将结构离散成有限个单元，可以得到结构的位移、应力分布等重要参数。
这些参数对于结构的设计和优化非常重要。
有限单元法可以用于分析各种类型的结构，包括梁、板、壳、桁架等。
2. 流体力学有限单元法在流体力学中的应用主要包括流体流动、热传导、传质等问题的求解。
通过将流体区域离散成有限个单元，可以得到流体的速度、压力分布等参数。
这些参数对于流体力学问题的分析和设计非常重要。
3. 电磁场有限单元法在电磁场中的应用主要包括电场、磁场、电磁波等问题的求解。
通过将电磁场区域离散成有限个单元，可以得到电场、磁场分布等参数。
这些参数对于电磁场问题的分析和设计非常重要。
三、有限单元法参考答案下面给出一些有限单元法问题的参考答案，以供参考。
1. 结构分析问题假设有一根悬臂梁，长度为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，杨氏模量为E。
1 《有限单元法》复习参考题 一、简答题： 1、简述应用有限单元法解决具体问题的要点。 （1) 将一个表示结构或者连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过他们边界上的结点相互结合为组合体。 （2) 用每个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数，为了叙述方便，后面略去此加注）在单元各个节点上的数值与其对应的插值函数来表达。 （3) 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或者加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程或者常微分方程组。 2、等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用？
在很多情况下对微分方程的等效积分形式进行分部积分可以得到等效积分的弱形式，如下式TTCDE()F()d0（）（u)d,其中C、D、E、F是微分算子。像这种通过适当提高对任意函数和 的连续性要求，以降低对微分方程场函数u的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。值得指出的是，从形式上看“弱”形式对函数u的连续性要求降低了，但对于实际的物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正的解，因为原始微分方程往往对解提出了过分的要求。所以等效积分“弱”形式在数值分析中得到更多的应用。 3、什么是Ritz（里兹）方法？其优缺点是什么？收敛的条件是什么？ 基于变分原理的近似解法称为Ritz（里兹），解法如下：
优缺点：一般来说，使用里兹方法求解，当试探函数族的范围扩大以及待定参数的数目增多时，近似解的精度将会提高。 局限性：(1) 在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数，往往会产生难以克服的困难。 (2) 为了提高近似解的精度，需要增加待定参数，即增加试探函数的项 2
数，这就增加了求解的复杂性，而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题求解增加许多困难。 收敛的条件：①试探函数12nN,NN,...,应取自完备函数系列 ， ②试探函数12nN,NN,...,应满足m1C 连续性要求。 4、什么是最小位能原理？该原理在有限单元分析中的作用是什么？对场函数的试探函数有什么要求？
如此公式所示p0 ，p是系统的总位能，它是弹性体变形位能和外力位能之和。该式表明，在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。在所有的可能位移中，真实位移使系统总位能取得最小值，因此p0所表达的称为最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变性能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。 要求：最小位能原理的试探函数-位移，应事先满足几何方程和给定的位移的边界条件。 5、有限单元法中单元的位移模式为什么通常采用多项式作为近似函数？选择广义坐标有限元位移模式的一般原则是什么?
因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线，多项式的选择应由低次到高次。
一般原则： （1) 广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。 （2) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。 （3) 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。 6、在有限单元法中，保证有限元解收敛有哪些准则? 六节点三角形单元是收敛的单元吗？为什么？
完备性要求。如果出现在泛函中的场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。 3
协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有m-1C 连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续导数。 不是收敛单元，因为不满足完备性要求和协调性要求。 7、何谓位移元？为什么位移元解具有下限性？请给出力学上的解释。
位移元：以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称之为位移元。位移元解具有下限性可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的形变进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的~K 较实际的K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 8、什么是拉格朗日单元和Serendipity单元？比较这两种单元的各自特点。 拉格朗日单元特点：（1）插值函数构造方便；（2）内部结点较多，单元的 次数越高相应自由度越高；（3）单元阶次增高，非完全高次项增加。 Serendipity单元作用是：不改变精度的条件下，减少内部结点， 即对 Lagrange 单元简化 。 9、什么是阶谱单元？如何在有限单元法中采用阶谱单元？相对于通用的标准单元有何好处？ 阶谱单元： 特点：（1）插值函数（阶谱函数）不再具有“0-1特性”。 （2）高阶单元的单元特性矩阵可承袭低阶单元的单元特性矩阵。在用于自适应分析中可以节省编程的工作量。
10、什么是等参变换？在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么? 等参变换是指单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。 优点是借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。 • 等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算（如单元刚度矩阵、单元载荷列阵等）都是在自然坐标系中规格化的 母单元内进行，相 关运算大大简化。 • 不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的 通用化程序。 11、等参元计算中数值积分阶次的选择应遵循哪些原则？如何检查所采用的积分方案是否满足所述的原则？ 1.保证积分的精度。2.保证结构总刚度矩阵k是非奇异的。 对于一个给定形式的单元,如果采用精确积分,则插值函数中所有项次在 1J=常数的条件下能被精确积分,并能保证刚度矩阵的非奇异性。如果采用减缩积分,因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分,因此需要进行刚度矩阵非奇异必要条件的检查。若能通过检查,则可以考虑采用减缩积分方案,以减少计算工作量,并可能对计算结果有所改进。 4
12、简述有限元网格划分的基本原则。 网格疏密的布置，不连续处的网格自然划分，不同密度划分网格过渡 13、什么是自适应分析方法？用什么方法进行自适应的重分析？ 自适应有限元技术是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的求解偏微分方程的方法。它主要利用中间计算结果自动计算所需的网格，选取最佳离散方式，从而逐步对误差做适当调节以达到所需精度。 h型改进，p型改进 14、为什么双线性四边形单元用于弯曲应力分析时表现出较差的性能？ 不能有重节点 不能出现内角大于180 o 的情况 内角最好介于30 o -150 o 之间（有限变形的情况） 15、什么是罚函数法？罚函数法求解近不可压缩弹性力学问题时的有限元方程系数矩阵应具有什么性质？如何保证它具有这样的性质？
k1非奇异，k2奇异，k1+ak2非奇异
二、计算分析题： 1、 试写出下述定解问题的等效积分形式和等效积分弱形式，并说明构造“弱” 形式的意义。
onyxuyxuinyxyuxuu ),(),( ),()(-222
2
（提示：利用Green公式： vdxdyudSnuvdxdyu)(， n为的单位外法向）
2、已知：L)x(0 0)()(22xQdxdA, 其中 5
L)x(L/2 0L/2)x(0 1
)(xQ，边界条件为：0)0(； 10Lxdxd。
假设近似函数为332210)(xaxaxaax，试用配点法，子域法和伽辽金法求解。 6 3、某问题的微分方程是in 02222Qcyx，边界条件为
21n n oqn
o
，
其中，c和Q仅是坐标的函数，证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。 7 4、弹性薄板的控制方程为：Dqywyxwxw44224442，建立周边固支时的自然变分原理。 8 5、如有一问题的泛函为 LdxqwkwdxwdEIw02222]2)(2[)(， 9
其中，kIE,,是常数，q是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件。
6、考虑如图1所示悬臂梁，设其跨长为l，抗弯刚度为EI，在梁的中部2lx及端点lx处受集中荷载P作用。 （1）若用Ritz（里兹）法计算粱的挠度曲线方程，试问：是否可取如下表达式?
)cos1(lxaw，其中，a为待定常数。
（2）若是可以，试利用最小位能原理求出相应的挠度曲线方程。
