高考线性规划题型归纳
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线性规划常见题型及解法
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。
解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,
目标函数z 最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
,则z=x+2y 的取值范围是
( )
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、(3,5] 解:如图,作出可行域,作直线l :x+2y =0,将
l 向右上方平移,过点A (2,0)时,有最小值
2,过点B (2,2)时,有最大值6,故选A
二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A (1,2)是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优
解。
图2
x
y O
2 2 x=2
y =2 x + y =2
B
A
习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则z=x 2+y 2
的最大
值和最小值分别是( ) A 、13,1 B 、13,2
C 、13,4
5
D 、13,255
解:如图,作出可行域,x 2+y 2是点(x ,y )到原点的
距离的平方,故最大值为点A (2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x +y -
2=0的距离的平方,即为4
5
,选C
练习2、已知x ,y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,10
52y x y x y x ,则
x y 的最大值为___________,最小值为
____________.
2,0
三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题
例3、在平面直角坐标系中,不等式组20
20
0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是()(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
解析:如图6,作出可行域,易知不等式组
20200x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:11
||||42 4.22
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选B。
点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;
其次利用面积公式整体或部分求解是关键。
2x + y - 2=
x – 2y + 4 3x – y – 3
O
y
x
A
习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为
( )
A 、4
B 、1
C 、5
D 、无穷大
解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯
形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B
四、已知平面区域,逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是()
(A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≤≤⎩ (D)
0003x y x y x -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
解析:双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域(如图4所示)时有0
03x y x y x -≥⎧⎪
+≥⎨
⎪≤≤⎩。 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是
( )
A .232600y x y x ≥-⎧
⎪-+>⎨
⎪<⎩
B .232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
C .232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩
D .232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩
C
五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。
例
5、在约束条件0
24
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨
+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是()
C
2x + y – 6= 0 = 5
x +y – 3
O
y
x A B
C M y =2